Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）直接將x=-1代入得出關(guān)于a，b的等式，進(jìn)而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀；
（2）利用根的判別式進(jìn)而得出關(guān)于a，b，c的等式，進(jìn)而判斷△ABC的形狀；
（3）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進(jìn)而代入方程求出即可．

解答：解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）²-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴（2b）²-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b²-4a²+4c²=0，
∴a²=b²+c²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x²+2bx+（a-c）=0，可整理為：
2ax²+2ax=0，
∴x²+x=0，
解得：x₁=0，x₂=-1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式和勾股定理逆定理等知識(shí)，正確由已知獲取等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．