已知等邊△ABC中,點D為射線BA上一點,作DE=DC,交直線BC于點E.
(1)當(dāng)點D在線段AB上時,如圖1,線段CE、AD、AC之間的數(shù)量關(guān)系是
 
;
(2)當(dāng)點D在BA的延長線上時,如圖2,求證:CE=AC-AD;
(3)在(2)的條件下,∠ABC的平分線BF,交CD于點F,過點A作AH⊥CD于H,當(dāng)∠EDC=30°,CF=10,求DH的長.
考點:全等三角形的判定與性質(zhì)
專題:
分析:(1)作DF∥BC交AC于F,證出DF=AD,證明△DFC≌△EBD,得出DF=BE,得出BE=AD,BE+BC=AD+AC,CE=AD+AC;
(2)過D作DF∥AC交BC延長線于F,證明△BDE≌△CDF,得BE=CF,∴BE=AD,∴CE=BC-BE=AC-AD;
(3)連接AF,證明△ABF≌△CBF,得AF=CF,再證明DH=AH=
1
2
CF
=5;
解答:解:(1)作DF∥BC交AC于F,如圖1所示:
∵△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,
∵DF∥BC,
∴∠ADF=∠ABC=60°,
∠AFD=∠ACB=60°,∠FDC=∠DCE,
∴∠A=∠ADF=∠AFD,∠DFC=120°,
∴△ADF是等邊三角形,∠DFC=∠DBE,
∴DF=AD,
∵DE=DC,
∴∠E=∠DCE,
∴∠FDC=∠E,
在△DFC和△EBD中,
∠DFC=∠DBE 
∠FDC=∠E 
DC=DE 
 
∴△DFC≌△EBD(AAS),
∴DF=BE,∴BE=AD,
∴BE+BC=AD+AC,CE=AD+AC;
(2)過D作DF∥AC交BC延長線于F,如圖2所示:
則∠BDF=∠,BAC=60°,∠F=ACB=60°,
∴∠BDF=∠F=∠ABC,
∴BD=BF,∴AD=CF,
∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,
∴∠DBE=∠DCF,
在△BDE和△CDF中,
∠ABC=∠F 
∠DEB=∠DCF 
DE=DC 

∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴BE=CF,
∴BE=AD,
∴CE=BC-BE=AC-AD;
(3)連接AF,如圖3所示:
∵DE=DC,∠EDC=30°,
∴∠DEC=∠DCE=75°,
∴∠ACF=75°-60°=15°,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
在△ABF和△CBF中,
AB=BC 
∠ABF=∠CBF 
BF=BF 
,
△ABF≌△CBF(SAS),
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠ACF=15°,
∴∠AFH=15°+15°=30°,
∵AH⊥CD,
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=5,
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE,
∴∠BDE=75°-60°=15°,
∴∠ADH=15°+30°=45°,
∴∠DAH=∠ADH=45°,
∴DH=AH=5.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì);證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵,注意輔助線的作法.
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