Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD=2，DC、DB的長是關(guān)于x的方程x²-kx+24=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂，且x₁²+x₂²-x₁x₂=28．
（1）畫出△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所得的△BCE；
（2）求DC、BD和ED的長，并判斷△BDE的形狀；
（3）求∠ADC的度數(shù)和AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）作CE⊥CD，取CE=CD，然后連接BE、DE即可得解；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=k，x₁x₂=24，然后代入等式求出k的值，再求出x₁、x₂，即為DC、BD的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CD，BE=AD，然后判斷出△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DE即可；再利用勾股定理逆定理判斷△BDE是直角三角形；
（3）求出∠CEB，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADC=∠CEB；求出AE，然后根據(jù)S_△ABC=S_△CDE+S_△ABE列出方程求解即可．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=k，x₁x₂=24，
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=（x₁+x₂）²-3x₁x₂，
∴k²-3×24=28，
解得k₁=10，k₂=-10（舍去），
所以，原方程為x²-10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6，
所以，DC=4，DB=6，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，CE=CD=4，BE=AD=2，
所以，△CDE是等腰直角三角形，
所以，DE=

2

CD=4

2

，
∵DE²+BE²=（4

2

）²+2²=36，
BD²=6²=36，
∴DE²+BE²=BD²，
∴△BDE是直角三角形；

（3）∵△CDE是等腰直角三角形，△BDE是直角三角形，
∴∠CED=45°，∠BED=90°，
∴∠CEB=45°+90°=135°，
∵△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所得的△BCE，
∴∠ADC=∠CEB=135°；
∵∠ADC+∠CDE=135°+45°=180°，
∴點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)共線，
∴AE=AD+DE=2+4

2

，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ACD≌△BCE，
所以，S_△ABC=S_△CDE+S_△ABE，
所以，

1

2

AC²=

1

2

AE•BE+

1

2

CD²，
即

1

2

AC²=

1

2

×（2+4

2

）×2+

1

2

×4²，
解得AC=

10+4 2

．

點(diǎn)評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理，難點(diǎn)在于（3）判斷出點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)共線并利用三角形的面積列出方程．