【題目】已知拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,拋物線的對(duì)稱軸為,為拋物線的頂點(diǎn).
求拋物線的解析式.
拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn),使為等腰三角形?若存在,寫出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,與拋物線交于點(diǎn),求四邊形面積的最大值,以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】;存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為或或或;四邊形面積的最大值,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【解析】
(1)由B、C的坐標(biāo),結(jié)合拋物線對(duì)稱軸,根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由拋物線解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,t),則可表示出PC、PD和CD的長(zhǎng),由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況分別得到關(guān)于t的方程,可求得P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)由B、C可求得直線BC解析式,可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo),則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得EF的長(zhǎng),則可表示出△CBF的面積,從而可表示出四邊形ACFB的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值,及E點(diǎn)的坐標(biāo).
∵點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,拋物線的對(duì)稱軸為,
∴,解得,
∴拋物線解析式為;
∵,
∴,且,
∵點(diǎn)為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),
∴可設(shè),
∴,,,
∵為等腰三角形,
∴分、和三種情況,
①當(dāng)時(shí),則,解得,此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為;
②當(dāng)時(shí),則,解得或(與點(diǎn)重合,舍去),此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為;
③當(dāng)時(shí),則,解得或,此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或;
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為或或或;
∵,,
∴直線解析式為,
∵點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在拋物線上,
∴設(shè),,
∵點(diǎn)在線段下方,
∴,
∴,且,
∴,
∵,
∴當(dāng)時(shí),有最大值,最大值為,此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為,
綜上可知四邊形面積的最大值,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A﹙﹣2,﹣5﹚,C﹙5,n﹚,交y軸于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式;
(2)連接OA,OC.求△AOC的面積.
(3)當(dāng)kx+b>時(shí),請(qǐng)寫出自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,已知點(diǎn),分別是的邊和延長(zhǎng)線上的點(diǎn),作的平分線,若.
(1)求證:是等腰三角形;
(2)作的平分線交于點(diǎn),若,求的度數(shù).
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則
這個(gè)二次函數(shù)的解析式是________;
當(dāng)________時(shí),
當(dāng)的取值范圍是________時(shí),.
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【題目】學(xué)校統(tǒng)籌安排大課間體育活動(dòng),在各班隨機(jī)選取了一部分學(xué)生,分成四類活動(dòng):“跳繩”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”進(jìn)行調(diào)查,整理收集到的數(shù)據(jù),繪制成如圖的兩幅統(tǒng)計(jì)圖.
(1)學(xué)校采用的調(diào)查方式是 ;學(xué)校在各班隨機(jī)選取了 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù):羽毛球 人、乒乓球 人、其他 %;
(3)該校共有900名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)喜歡“跳繩”的學(xué)生人數(shù).
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC交⊙O于點(diǎn)D,E是的中點(diǎn),AE與BC交于點(diǎn)F,∠C=2∠EAB.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知CD=4,CA=6,
①求CB的長(zhǎng);
②求DF的長(zhǎng).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=,以BC為斜邊作等腰Rt△BCD,連接AD,則線段AD的長(zhǎng)為_____.
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