【題目】已知,正方形中,點(diǎn)E上,點(diǎn)F上,連接、.平分

1)如圖1,求證:

2)如圖2,若點(diǎn)EBC的中點(diǎn),,求的面積.

3)如圖3,若∠B=90°,連接BD分別交AF、AEMN兩點(diǎn),連接ME,若MEAFM, BMEF=45,△AEF的面積為15時(shí),求AE的長度.

【答案】1)證明見解析;(215;(32

【解析】

1)作AHEFH.只要證明AFD≌△AFH,推出∠FAD=FAH,同法可證:∠EAB=EAH,由此即可解決問題;

2)由EAB≌△EAH,FAD≌△FAH,推出BE=EH=3DF=FH,設(shè)DF=FH=x,在RtEFC中,根據(jù)EF2=EC2+CF2,可得(x+32=32+6-x2,推出x=2,推出EF=3+2=5,即可解決問題;

3)如圖3中,如圖將ADM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABK.首先證明MN2=BN2+DM2,再證明EF=MN,由BMEF=45,推出BM MN=45,推出BMNM=85,設(shè)BM=8k,NM=5k,則BN=3kDM==4k,由DFAB,推出=2,設(shè)MF=y,則AM=ME=2y,由AFEM=15,推出3b2b=15,可得b=,由此即可解決問題.

1)證明:作AHEFH

∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=D=BAD=90°,AB=AD=BC=CD,
AE平分∠BEFABBE,AHEF,
AB=AH=AD,
RtAFDRtAFH中,
,
∴△AFD≌△AFH,
∴∠FAD=FAH,同法可證:∠EAB=EAH
∴∠EAF=BAH+DAH=×90°=45°

2)解:∵△EAB≌△EAH,FAD≌△FAH,
BE=EH=3DF=FH,設(shè)DF=FH=x
RtEFC中,∵EF2=EC2+CF2
∴(x+32=32+6-x2
x=2,
EF=3+2=5
SAEF=×5×6=15

3)解:如圖3中,如圖將ADM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABK

∵∠BAD=90°,∠MAN=45°,
∴∠DAM+BAN=45°,
∵∠DAM=BAK
∴∠BAN+BAK=45°,
∴∠NAK=MAN=45°,
AN=AN,AK=AM,
∴△ANK≌△ANM,
MN=KN,
∵∠ABK=ADM=45°=ABD,
∴∠KBN=90°,
KN2=BN2+BK2,
DM=BK,
MN2=BN2+DM2,
∵∠MAN=NBE,∠ANM=BNE
∴∠AMN=BEN=AEF,
∵∠AMN=EAF
∴△AMN∽△AEF,

EF=MN,
BMEF=45
BM MN=45,
BMNM=85,設(shè)BM=8kNM=5k,
BN=3kDM==4k,
DFAB,
=2,設(shè)MF=y,則AM=ME=2y,
AFEM=15,
3b2b=15,
b2=5
b0,
b=
AM=EM=2,
AE=AM=2

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