Question

如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A、B（點A在點B右側），與y軸交于點C（0，﹣3），且OA=2OC．

（1）求這條拋物線的表達式及頂點M的坐標；

（2）求tan∠MAC的值；

（3）如果點D在這條拋物線的對稱軸上，且∠CAD=45°，求點D的坐標．

Answer 1

解：（1）∵C（0，﹣3），

∴OC=3．y=x²+bx﹣3．

∵OA=2OC，

∴OA=6．

∵a=＞0，點A在點B右側，拋物線與y軸交點C（0，﹣3）．

∴A（6，0）．

∴0=36+6b﹣3，

∴b=﹣1．

∴y=x²﹣x﹣3，

∴y=（x﹣2）²﹣4，

∴M（2，﹣4）．

答：拋物線的解析式為y=x²﹣x﹣3，M的坐標為（2，﹣4）；

（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為點H，交AC于點N，過點N作NE⊥AM于點E，垂足為點E．

∴∠AHM=∠NEM=90°．

在Rt△AHM中，HM=AH=4，由勾股定理，得

AM=4，

∴∠AMH=∠HAM=45°．

設直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴直線AC的表達式為y=x﹣3．

當x=2時，y=﹣2，

∴N（2，﹣2）．

∴MN=2．

∵∠NEM=90°，∠NME=45°，

∴∠MNE=∠NME=45°，

∴NE=ME．

在Rt△MNE中，

∴NE²+ME²=NM²，

∴ME=NE=．

∴AE=AM﹣ME=3

在Rt△AEN中，tan∠MAC=．

答：tan∠MAC=；

（3）如圖2，①當D點在AC上方時，

∵∠CAD₁=∠D₁AH+∠HAC=45°，且∠HAM=∠HAC+∠CAM=45°，

∴∠D₁AH=∠CAM，

∴tan∠D₁AH=tan∠MAC=．

∵點D₁在拋物線的對稱軸直線x=2上，

∴D₁H⊥AH，

∴AH=4．

在Rt△AHD₁中，

D₁H=AH•tan∠D₁AH=4×=．

∴D₁（2，）；

②當D點在AC下方時，

∵∠D₂AC=∠D₂AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D₂AM+∠AD₂M=45°，

∴∠MAC=∠AD₂M．

∴tan∠AD₂H=tan∠MAC=．

在Rt△D₂AH中，D₂H=．

∴D₂（2，﹣12）．

綜上所述：D₁（2，）；D₂（2，﹣12）．