Question

【題目】材料一：我們可以將任意三位數(shù)記為，（其中、、分別表示該數(shù)的百位數(shù)字，十位數(shù)字和個位數(shù)字，且）.顯然.

材料二：若一個三位數(shù)的百位數(shù)字，十位數(shù)字和個位數(shù)字均不為，則稱之為“生數(shù)”，比如就是一個“生數(shù)”，將“生數(shù)”的三個數(shù)位上的數(shù)字交換順序，可產(chǎn)生出個新的“生數(shù)”，比如由可以產(chǎn)生出、、、、這個新“生數(shù)”，將這個數(shù)相加，得到的和稱為由“生數(shù)”生成的“完全數(shù)”

問題：（1）求證：任意一個“完全數(shù)”都可以整除；

（2）若一個四位正整數(shù)（，是整數(shù)）是由一個“生數(shù)”（，， 、是整數(shù)）產(chǎn)生的“完全數(shù)”，請求出這個“生數(shù)”.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）124，223，322，421.

【解析】

（1）先用字母寫出一個“生數(shù)”，再由此數(shù)寫出5個新的“生數(shù)”，然后求和，合并同類項即可；

（2）求出“生數(shù)”產(chǎn)生的6個新的“生數(shù)”的和＝，列式，利用整除的性質(zhì)，求得以及的值，即可求解.

（1）設這個“生數(shù)”為，即為：，

5個新的“生數(shù)”為：；；；；；

生成的“完全數(shù)”為：

，

∴任意一個“完全數(shù)”都可以整除；

（2）∵“生數(shù)”為，

∴生成的“完全數(shù)”為：，

四位正整數(shù)，

根據(jù)題意：，

即：，

∵，是整數(shù)，，， 、是整數(shù)，

∴只有時，,

∴，；，；，；，；共4組.

這個“生數(shù)”是：124，223，322，421.