Question

如圖1，△ABC為等邊三角形，D為B上任一點，∠ADE=60°，邊DE與∠ACB外角的平分線相交于點E．
（1）求證：AD=DE；
（2）若點D在CB的延長線上，如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在AB上取一點M，使BM=BD，連接MD．則△BDM是等邊三角形，則易證AM=DC，根據(jù)ASA即可證得△AMD≌△DCE（ASA），根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得；
（2）延長CA到M，使AM=BD，與（1）相同，可證△CDM是等邊三角形，然后證明△AMD≌△ECD（ASA），根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得．

解答：（1）證明：如圖，在AB上取一點M，使BM=BD，連接MD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等邊三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分線，
∴∠ECF=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠MAD+∠B，
∴∠CDE=∠MAD．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，

∠MAD=∠CDE MA=CD ∠AMD=∠DCE

，
∴△AMD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE．

（2）答：正確．
證明：延長CA到M，使AM=BD，與（1）相同，可證△CDM是等邊三角形，
∴∠CDM=∠M=60°，CD=DM，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADM=∠EDC，
在△AMD和△DCE中，

∠ADM=∠EDC DM=DC ∠M=∠ECD=60°

，
∴△AMD≌△ECD（ASA），
∴AD=DE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．