Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時，點(diǎn)Q停止運(yùn)動，這時，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）當(dāng)P，Q運(yùn)動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

(4)在AC 段的拋物線上有一點(diǎn)R到直線AC的距離最大,請直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得 ，

∴y=x²﹣x﹣4．

∴C（0，﹣4）．

（2）存在．

如圖1，過點(diǎn)Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，

設(shè)AE=x，則EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，

∴在Rt△EDQ中，（﹣x）²+（）²=x²，解得 x=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

③當(dāng)AE=AQ=4時，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）．

（3）四邊形APDQ為菱形，D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣）．理由如下：

如圖2，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對稱，過點(diǎn)Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四邊形AQDP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴，

∴AF=，F(xiàn)Q=，

∴Q（3﹣，﹣），

∵DQ=AP=t，

∴D（3﹣﹣t，﹣），

∵D在二次函數(shù)y=x²﹣x﹣4上，

∴﹣=（3﹣t）²﹣（3﹣t）﹣4，

∴t=，或t=0（與A重合，舍去），

∴D（﹣，﹣）．

(4)R().