Question

如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點(diǎn)C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG．
（1）求證：AC=FG．
（2）當(dāng)AC⊥FG時(shí)，△ABC應(yīng)是怎樣的三角形？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：先根據(jù)題意推理出四邊形AFCG是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到對(duì)角線相等；由第一問的結(jié)論和AC⊥FG得到四邊形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．

解答：（1）證明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴AB=AC；
AF是BC邊上的中線，
∴AF⊥BC，
∵CG⊥AD，AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴AF∥CG，
∴四邊形AFCG是平行四邊形，
∵∠AFC=90°，
∴四邊形AFCG是矩形；
∴AC=FG．
（2）解：當(dāng)AC⊥FG時(shí)，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
∵四邊形AFCG是矩形，
∴四邊形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：該題目考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)比較多，注意解答的思路要清晰．