【題目】尤秀同學(xué)遇到了這樣一個問題:如圖1所示,已知AF,BE是△ABC的中線,且AF⊥BE,垂足為P,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
求證:a2+b2=5c2
該同學(xué)仔細(xì)分析后,得到如下解題思路:
先連接EF,利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA,故 ,設(shè)PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理計算,消去m,n即可得證

(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程.
(2)利用題中的結(jié)論,解答下列問題:在邊長為3的菱形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點,連接BE,CF并延長交于點M,BM,CM分別交AD于點G,H,如圖2所示,求MG2+MH2的值.

【答案】
(1)

解:設(shè)PF=m,PE=n,連結(jié)EF,如圖1,

∵AF,BE是△ABC的中線,

∴EF為△ABC的中位線,AE= b,BF= a,

∴EF∥AB,EF= c,

∴△EFP∽△BPA,

,即 = ,

∴PB=2n,PA=2m,

在Rt△AEP中,∵PE2+PA2=AE2,

∴n2+4m2= b2①,

在Rt△AEP中,∵PF2+PB2=BF2

∴m2+4n2= a2②,

①+②得5(n2+m2)= (a2+b2),

在Rt△EFP中,∵PE2+PF2=EF2,

∴n2+m2=EF2= c2,

∴5 c2= (a2+b2),

∴a2+b2=5c2;


(2)

解:∵四邊形ABCD為菱形,

∴BD⊥AC,

∵E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點,

由(1)的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,

∵AG∥BC,

∴△AEG∽△CEB,

= ,

∴AG=1,

同理可得DH=1,

∴GH=1,

∴GH∥BC,

= ,

∴MB=3GM,MC=3MH,

∴9MG2+9MH2=45,

∴MG2+MH2=5.


【解析】(1)設(shè)PF=m,PE=n,連結(jié)EF,如圖1,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB,EF= c,則可判斷△EFP∽△BPA,利用相似比得到PB=2n,PA=2m,接著根據(jù)勾股定理得到n2+4m2= b2 , m2+4n2= a2 , 則5(n2+m2)= (a2+b2),而n2+m2=EF2= c2 , 所以a2+b2=5c2;(2)利用(1)的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1,同理可得DH=1,則GH=1,然后利用GH∥BC,根據(jù)平行線分線段長比例定理得到MB=3GM,MC=3MH,然后等量代換后可得MG2+MH2=5.本題考查了相似三角形的判定:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.也考查了三角形中位線性質(zhì)和菱形的性質(zhì).

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A.2n+1
B.n2﹣1
C.n2+2n
D.5n﹣2

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B.30°
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港口

運費(元/臺)

甲庫

乙?guī)?/span>

A港

14

20

B港

10

8


(1)設(shè)從甲倉庫運送到A港口的物資為x噸,求總運費y(元)與x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(2)求出最低費用,并說明費用最低時的調(diào)配方案.

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A.
B.
C.
D.

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(2)求電線桿AB的高度.

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