Question

在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，點F是AD邊上一點，過點F作∠AFE=∠DFC，交射線AB于點E，交射線CB于點G．
（1）若FG=8

2

，則∠CFG=

 

°；
（2）當以F，G，C為頂點的三角形是等邊三角形時，畫出圖形并求GB的長；
（3）過點E作EH∥CF交射線CB于點H，請?zhí)骄浚寒擥B為何值時，以F，H，E，C為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由矩形的性質(zhì)得AD∥BC，∠D=90°，所以∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，進而求得∠FGC=∠FCG，得到FC的長，再利用三角函數(shù)求得∠DFC=45°，即可得
∠CFG=90°；
（2）先畫出圖形，由矩形與等邊三角形的性質(zhì)得到∠DFC=60°，利用三角函數(shù)求得FC的長，即為GC的長，再求BG即可；
（3）過點F作FK⊥BC于點K，有矩形的性質(zhì)推出∠KCF=∠KGF，F(xiàn)G=FC，所以GK=CK．因為四邊形FHEC是平行四邊形，所以FG=EG．可得△FGK≌△EGB．所以BG=GK=KC=

12

3

=4．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°．
∴∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠FGC=∠FCG；
∴FC=FG=8

2

∴在Rt△FCD中，
sin∠DFC=

DC

FC

=

8

8 2

=

2

2

，
∴∠DFC=45°，
∴∠CFG=180°-∠AFE-∠DFC=180°-45°-45°=90°； 
故答案為：90°；
                 
（2）圖形如下：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°．
∵△FGC是等邊三角形，
∴∠GFC=60°．
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DFC=60°．
∵DC=8，
∴FC=

DC

sin60°

=

16 3

3

．
∵△FGC是等邊三角形，
∴GC=FC=

16 3

3

．
∵BC=AD=12，
∴GB=12-

16 3

3

；
（3）過點F作FK⊥BC于點K

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC．
∴∠DFC=∠KCF，∠AFG=∠KGF．
∵∠DFC=∠AFG，
∴∠KCF=∠KGF．
∴FG=FC．
∴GK=CK．
∵四邊形FHEC是平行四邊形，
∴FG=EG．
∴在△FGK和△EGB中

∠FGK=∠EGB ∠FKG=∠EBG FG=EG

∴△FGK≌△EGB
∴BG=GK=KC=

12

3

=4．

點評：本題主要考查了矩形與平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰與等邊三角形的性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)值等，綜合性較強．有一定難度．