Question

如圖，點(diǎn)P（﹣1，1）在雙曲線上，過點(diǎn)P的直線l1與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且tan∠BAO=1．點(diǎn)M是該雙曲線在第四象限上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l2與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D．則四邊形ABCD的面積最小值為（　�。�

A．

10

B．

8

C．

6

D．

不確定

Answer 1

B解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，

∵點(diǎn)P（﹣1，1）在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴k=xy=﹣1．

∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣．

設(shè)直線l1的解析式為y=mx+n，

當(dāng)x=0時(shí)，y=n，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，n），OB=n．

當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），OA=．

∵tan∠BAO=1，∠AOB=90°，

∴OB=OA．

∴n=

∴m=1．

∵點(diǎn)P（﹣1，1）在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，

∴﹣m+n=1．

∴n=2．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．

∵點(diǎn)M在第四象限，且在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，

∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣），其中a＞0．

設(shè)直線l2的解析式為y=bx+c，

則ab+c=﹣．

∴c=﹣﹣ab．

∴y=bx﹣﹣ab．

∵直線y=bx﹣﹣ab與雙曲線y=﹣只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴方程bx﹣﹣ab=﹣即bx2﹣（+ab）x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根．

∴[﹣（+ab）]2﹣4b=（+ab）2﹣4b=（﹣ab）2=0．

∴=ab．

∴b=，c=﹣．

∴直線l2的解析式為y=x﹣．

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣）；

當(dāng)y=0時(shí)，x=2a，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a，0）．

∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（﹣）=2+．

∵AC⊥BD，

∴S四邊形ABCD=AC•BD

=（2a+2）（2+）

=4+2（a+）

=4+2[（﹣）2+2]

=8+2（﹣）2．

∵2（﹣）2≥0，

∴S四邊形ABCD≥8．

∴當(dāng)且僅當(dāng)﹣=0即a=1時(shí)，S四邊形ABCD取到最小值8．