Question

對于二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E．

現(xiàn)有點A（2，0）和拋物線E上的點B（-1，n），請完成下列任務：

【嘗試】

（1）當t=2時，拋物線E的頂點坐標是 .

（2）點A 拋物線E上；（填“在”或“不在”）

（3）n= .．

【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，這個定點的坐標是 .

【應用1】二次函數(shù)y=-3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

【應用2】以AB為一邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，若拋物線E經(jīng)過點A、B、C，求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

（1，-2）．點A（2，0）在拋物線E上．6．拋物線E必過定點（2，0）、（-1，6）．二次函數(shù)y=-3x2+5x+2不是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”． 所有t的值為：-；，-，．

【解析】

試題分析：【嘗試】

（1）將t的值代入“再生二次函數(shù)”中，通過配方可得到頂點的坐標；

（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；

（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．

【發(fā)現(xiàn)】

將拋物線E展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數(shù)值產(chǎn)生影響），即可求出這個定點的坐標．

【應用1】

將【發(fā)現(xiàn)】中得到的兩個定點坐標代入二次函數(shù)y=-3x2+5x+2中進行驗證即可．

【應用2】

該題的關鍵是求出C、D的坐標；首先畫出相應的圖形，過C、D作坐標軸的垂線，通過構建相似三角形或全等三角形來求解．在求得C、D的坐標后，已知拋物線E必過A、B，因此只需將C或D的坐標代入拋物線E的解析式中，即可求出符合條件的t值．

試題解析：【解析】
【嘗試】

（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，-2）．

（2）將x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，

∴點A（2，0）在拋物線E上．

（3）將x=-1代入拋物線E的解析式中，得：

n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

【發(fā)現(xiàn)】

將拋物線E的解析式展開，得：

y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4

∴拋物線E必過定點（2，0）、（-1，6）．

【應用1】

將x=2代入y=-3x2+5x+2，y=0，即點A在拋物線上．

將x=-1代入y=-3x2+5x+2，計算得：y=-6≠6，

即可得拋物線y=-3x2+5x+2不經(jīng)過點B，

二次函數(shù)y=-3x2+5x+2不是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”．

【應用2】

如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點B作BK⊥y軸于點K，過B作BM⊥x軸于點M，

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

則：

即

求得 C 1K=

所以點C1（0，）．

易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=，

∴點D1（3，）．

易知△OAD2∽△GAD1，，

由AG=1，OA=2，GD1=，

求得 OD2=1，

∴點D2（0，-1）．

易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，

所以點C2（-3，5）．

∵拋物線E總過定點A（2，0）、B（-1，6），

∴符合條件的三點可能是A、B、C或A、B、D

當拋物線E經(jīng)過A、B、C1時，將C1（0，）代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t1=-；

當拋物線E經(jīng)過A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2時，可分別求得t2=，t3=-，t4=．

∴滿足條件的所有t的值為：-；，-，．

考點：二次函數(shù)綜合題．