【題目】已知等邊△ABC的邊長為4cm,點(diǎn)P,Q分別是直線AB,BC上的動點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動,點(diǎn)Q同時從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動,它們的速度都為lcm/s,到達(dá)終點(diǎn)時停止運(yùn)動.設(shè)它們的運(yùn)動時間為t秒,連接AQ,PQ.
①當(dāng)t=2時,求∠AQP的度數(shù).
②當(dāng)t為何值時△PBQ是直角三角形?
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上,Q在BC上,若PQ=PC,請判斷AP,CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)①∠AQP=30°;②當(dāng)t=秒或t=秒時,△PBQ為直角三角形;(2)AC=AP+CQ,理由見解析.
【解析】
(1)①由△ABC是等邊三角形知AQ⊥BC,∠B=60°,從而得∠AQB=90°,△BPQ是等邊三角形,據(jù)此知∠BQP=60°,繼而得出答案;
②由題意知AP=BQ=t,PB=4﹣t,再分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況分別求解可得.
(2)過點(diǎn)Q作QF∥AC,交AB于F,知△BQF是等邊三角形,證∠QFP=∠PAC=120°、∠BPQ=∠ACP,從而利用AAS可證△PQF≌△CPA,得AP=QF,據(jù)此知AP=BQ,根據(jù)BQ+CQ=BC=AC可得答案.
解:(1)①根據(jù)題意得AP=PB=BQ=CQ=2,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AQ⊥BC,∠B=60°,
∴∠AQB=90°,△BPQ是等邊三角形,
∴∠BQP=60°,
∴∠AQP=∠AQB﹣∠BQP=90°﹣60°=30°;
②由題意知AP=BQ=t,PB=4﹣t,
當(dāng)∠PQB=90°時,
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,得:4﹣t=2t,解得t=;
當(dāng)∠BPQ=90°時,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(4﹣t),解得t=;
∴當(dāng)t=秒或t=秒時,△PBQ為直角三角形;
(2)AC=AP+CQ,理由如下:
如圖所示,過點(diǎn)Q作QF∥AC,交AB于F,
則△BQF是等邊三角形,
∴BQ=QF,∠BQF=∠BFQ=60°,
∵△ABC為等邊三角形,
∴BC=AC,∠BAC=∠BFQ=60°,
∴∠QFP=∠PAC=120°,
∵PQ=PC,
∴∠QCP=∠PQC,
∵∠QCP=∠B+∠BPQ,∠PQC=∠ACB+∠ACP,∠B=∠ACB,
∴∠BPQ=∠ACP,
在△PQF和△CPA中,
∵
∴△PQF≌△CPA(AAS),
∴AP=QF,
∴AP=BQ,
∴BQ+CQ=BC=AC,
∴AP+CQ=AC.
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【題目】一個正比例函數(shù)與一個一次函數(shù)圖象交于點(diǎn),且.
(1)求這兩個函數(shù)的表達(dá)式;
(2)直線與直線、構(gòu)不成三角形,直接寫出的值 .
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,分別以A和B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點(diǎn),作直線MN分別交AB、AC于點(diǎn)F、D,作DE⊥BC于E.有下面三個結(jié)論:①BD平分∠ABC;②DE=DF;③BC+CD=2AF;其中,正確的結(jié)論的個數(shù)是( )
A.3B.2C.1D.0
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【題目】如圖,在中,,D是AB上的點(diǎn),過點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)F,交AC的延長線于點(diǎn)E,連接CD,,則下列結(jié)論正確的有( )
①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等邊三角形;④若∠E=30°,則DE=EF+CF.
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【題目】附加題:(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2.
求 的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O,分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長線上,且∠A=2∠CBF.
(1)求證:BF與⊙O相切.
(2)若BC=CF=4,求BF的長度.
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【題目】甲,乙兩輛汽車先后從A地出發(fā)到B地,甲車出發(fā)1小時后,乙車才出發(fā),如圖所示的l1和l2表示甲,乙兩車相對于出發(fā)地的距離y(km)與追趕時間x(h)之間的關(guān)系:
(1)哪條線表示乙車離出發(fā)地的距離y與追趕時間x之間的關(guān)系?
(2)甲,乙兩車的速度分別是多少?
(3)試分別確定甲,乙兩車相對于出發(fā)地的距離y(km)與追趕時間x(h)之間的關(guān)系式;
(4)乙車能在1.5小時內(nèi)追上甲車嗎?若能,說明理由;若不能,求乙車出發(fā)幾小時才能追上甲?
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【題目】一茶葉專賣店經(jīng)銷某種品牌的茶葉,該茶葉的成本價(jià)是80元/kg,銷售單價(jià)不低于120元/kg.且不高于180元/kg,經(jīng)銷一段時間后得到如下數(shù)據(jù):
銷售單價(jià)x(元/kg) | 120 | 130 | … | 180 |
每天銷量y(kg) | 100 | 95 | … | 70 |
設(shè)y與x的關(guān)系是我們所學(xué)過的某一種函數(shù)關(guān)系.
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少時,銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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