Question

已知AE⊥AB，DA⊥AC，AE=AB，AD=AC．直線MN過點A，交DE、BC于點M、N．
（1）若AM是△EAD中線，求證：AN⊥BC；
（2）若AN⊥BC，求證：EM=DM．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）延長AM至F，使MF=AM，然后利用“邊角邊”證明△EMF和△DMA全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAM=∠F，全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=AD，然后根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠BAC=∠AEF，再利用“邊角邊”證明△ABC和△EAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EAF=∠B，再求出∠ANB=90°，從而得證；
（2）過點E作EF∥AD交AM的延長線于F，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠F=∠DAM，根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF=∠B，然后求出∠BAC=∠AEF，再利用“角角邊”證明△ABC和△EAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊可得EF=AC，然后求出EF=AD，再利用“角角邊”證明△EFM和△DAM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EM=DM．

解答：證明：（1）如圖，延長AM至F，使MF=AM，
∵AM是△EAD中線，
∴EM=DM，
在△EMF和△DMA中，

EM=DM ∠EMF=∠AMD MF=AM

，
∴△EMF≌△DMA（SAS），
∴∠DAM=∠F，EF=AD，
∵AD=AC，
∴EF=AC，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC=360°-90°×2-∠DAE=180°-∠DAE，
∵∠AEF=180°-∠F-∠EAM=180°-∠DAM-∠EAM=180°-∠DAE，
∴∠BAC=∠AEF，
在△ABC和△EAF中，

EF=AC ∠BAC=∠AEF AB=AE

，
∴△ABC≌△EAF（SAS），
∴∠EAF=∠B，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF+∠BAN=90°，
∴∠B+∠BAN=90°，
在△ABN中，∠ANB=180°-（∠B+∠BAN）=180°-90°=90°，
∴AN⊥BC；

（2）如圖，過點E作EF∥AD交AM的延長線于F，
則∠F=∠DAM，
∵DA⊥AC，
∴∠DAM+∠CAN=90°，
∵AN⊥BC，
∴∠CAN+∠C=90°，
∴∠F=∠DAM=∠C，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC=360°-90°×2-∠DAE=180°-∠DAE，
∵∠AEF=180°-∠F-∠EAM=180°-∠DAM-∠EAM=180°-∠DAE，
∴∠BAC=∠AEF，
在△ABC和△EAF中，

∠BAC=∠AEF ∠F=∠C AB=AE

，
∴△ABC≌△EAF（AAS），
∴EF=AC，
∵AD=AC，
∴EF=AD，
在△EFM和△DAM中，

∠F=∠DAM ∠EMF=∠DMA EF=AD

，
∴△EFM≌△DAM（AAS），
∴EM=DM．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等，同角的補(bǔ)角相等的性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并二次證明三角形全等．