【題目】矩形ABCO中,O00),C0,3),Aa,0),(a≥3),以A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)矩形ABCO得到矩形AFED

1)如圖1,當點D落在邊BC上時,求BD的長(用a的式子表示);

2)如圖2,當a3時,矩形AFED的對角線AE交矩形ABCO的邊BC于點G,連結(jié)CE,若CGE是等腰三角形,求直線BE的解析式;

3)如圖3,矩形ABCO的對稱中心為點P,當P,B關(guān)于AD對稱時,求出a的值,此時在x軸、y軸上是否分別存在MN使得四邊形EFMN為平行四邊形,若存在直接寫出MN坐標,不存在說明理由.

【答案】(1)BD=;(2)y=﹣x+6;(3)M(,0),N(0,

【解析】

1)如圖1,當點D落在邊BC上時,BD2=AD2-AB2,即可求解;

2)分CG=EGCE=GE、CE=CG三種情況分別求解;

3)①由點P為矩形ABCO的對稱中心,得到求得直線PB的解析式為,得到直線AD的解析式為:,解方程即可得到結(jié)論;②根據(jù)①中的結(jié)論得到直線AD 的解析式為,求得∠DAB=30°,連接AE,推出AB,E三點共線,求得,設(shè)Mm,0),N0,n),解方程組即可得到結(jié)論.

(1)如圖1,

在矩形ABCO中,∠B=90°

當點D落在邊BC上時,BD2=AD2﹣AB2,

∵C(0,3),A(a,0)

∴AB=OC=3,AD=AO=a,

∴BD=;

(2)如圖2,連結(jié)AC,

∵a=3,∴OA=OC=3,

∴矩形ABCO是正方形,∴∠BCA=45°,

設(shè)∠ECG的度數(shù)為x,

∴AE=AC,∴∠AEC=∠ACE=45°+x,

①當CG=EG時,x=45°+x,

解得x=0,不合題意,舍去;

②當CE=GE時,如圖2,

∠ECG=∠EGC=x

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=180°,

∴x+x+(45°+x)=180°,解得x=45°,

∴∠AEC=∠ACE=90°,不合題意,舍去;

③當CE=CG時,∠CEG=∠CGE=45°+x,

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=180°,

∴x+(45°+x)+(45°+x)=180°,解得x=30°,

∴∠AEC=∠ACE=75°,∠CAE=30°

如圖3,連結(jié)OB,交AC于點Q,過E作EH⊥AC于H,連結(jié)BE,

∴EH=AE=AC,BQ=AC,

∴EH=BQ,EH∥BQ且∠EHQ=90°

∴四邊形EHQB是矩形

∴BE∥AC,

設(shè)直線BE的解析式為y=﹣x+b,

∵點B(3,3)在直線上,則b=6,

∴直線BE的解析式為y=﹣x+6;

(3)①∵點P為矩形ABCO的對稱中心,

,

∵B(a,3),

∴PB的中點坐標為:

∴直線PB的解析式為,

∵當P,B關(guān)于AD對稱,

∴AD⊥PB,

∴直線AD的解析式為:,

∵直線AD過點,∴

解得:a=±3,

∵a≥3,

∴a=3;

②存在M,N;

理由:∵a=3

∴直線AD 的解析式為y=﹣x+9,

∴∴∠DAO=60°,

∴∠DAB=30°,

連接AE,

∵AD=OA=3,DE=OC=3,

∴∠EAD=30°,

∴A,B,E三點共線,

∴AE=2DE=6,

設(shè)M(m,0),N(0,n),

∵四邊形EFMN是平行四邊形,

,

解得:,

∴M(,0),N(0,).

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