Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)直線為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．

【解析】

對(duì)于（1），結(jié)合已知先求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

對(duì)于（2），在Rt△OAC中，利用三角函數(shù)的知識(shí)求出∠OAC的度數(shù)，再利用角平分線的定義求出∠OAD的度數(shù)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；接下來求出直線AD的解析式，表示出點(diǎn)P，H，F的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可完成解答；對(duì)于（3），首先求出⊙H的半徑，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK=14，此時(shí)K（-，）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性質(zhì)求出KQ=AQ，進(jìn)而可得當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，AQ+EQ的值最小，據(jù)此解答.

（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線的解析式為yx2x﹣3．

（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．

∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OAtan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．

∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）

解得m或（舍棄），∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為．

（3）如圖，∵PF是對(duì)稱軸，∴F（，0），H（，﹣2）．

∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．

∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK，此時(shí)K（）．

∵HQ2＝1，HKHA＝1，∴HQ2＝HKHA，∴．

∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，AQ+QE的值最小，最小值．