Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點B落在B′處．
（1）試判斷圖中△AEC的形狀，并說明理由；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）求直線AB′所對應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,矩形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得CD∥AB，再利用平行線的性質(zhì)得∠BAC=∠DCA，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BAC=∠B′AC，則∠DCA=∠B′AC，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理可判斷△AEC為等腰三角形；
（2）利用矩形的性質(zhì)得CD=AB=8，AD=BC=4，設(shè)CE=x，則AE=x，DE=8-x，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得到4²+（8-x）²=x²，解得x=5，然后根據(jù)三角形的面積公式計算圖中陰影部分的面積；
（3）由于CE=5，則DE=3，可寫出E點坐標(biāo)為（3，4），然后利用待定系數(shù)法求直線AB′所對應(yīng)的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）△AEC為等腰三角形．理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵矩形沿AC折疊，點B落在B′處，
∴∠BAC=∠B′AC，
∴∠DCA=∠B′AC，
∴△AEC為等腰三角形；
（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=8，AD=BC=4，
設(shè)CE=x，則AE=x，DE=8-x，
在Rt△ADE中，
∵AD²+DE²=AE²，
∴4²+（8-x）²=x²，解得x=5，
∴圖中陰影部分的面積=

1

2

AD•CE=

1

2

×4×5=10；
（3）∵CE=5，
∴DE=3，
∴E點坐標(biāo)為（3，4），
設(shè)直線AB′所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx，
把E（3，4）代入得3k=4，解得k=

4

3

，
∴直線AB′所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=

4

3

x．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和矩形的性質(zhì)．