【題目】如圖(1)所示,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,求證:∠BOC=90+∠A.

變式1:如圖(2)所示,∠ABC,∠ACD的平分線交于點(diǎn)O,求證:∠BOC=∠A.

變式2:如圖(3)所示,∠CBD,∠BCE的平分線交于點(diǎn)O,求證:∠BOC=90-∠A.

【答案】見解析

【解析】

(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB,易得∠BOC=90°+∠A;

變式1:根據(jù)BD為△ABC的角平分線,CD為△ABC外角∠ACE的平分線,由三角形外角性質(zhì)可得;∠2=∠1+∠O,∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1,兩式聯(lián)立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1,即∠BOC=A.

變式2:根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB);根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BOC=90-A..

(1)證明:在△BOC中,
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴2∠BOC=360°-(∠ABC+∠ACB),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴2∠BOC=180°+∠A,
∴∠BOC=90°+∠A;

變式1∵BD為△ABC的角平分線,CD為△ABC外角∠ACE的平分線,

∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD

∵∠2、∠ACO分別是△BCO、△ABC的外角

∴∠2=∠1+∠O,∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1,

∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1,

BOC=A

變式2:∵BO、CO為△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分線.
∴∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB),
由三角形內(nèi)角和定理得,∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC,
=180°- [∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)],
=180°- (∠A+180°),
=90°- ∠A;

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于y軸對稱,點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線l對稱,則稱點(diǎn)P2是點(diǎn)P關(guān)于y軸,直線l的二次對稱點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)A(﹣1,0).
①若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線l1:x=2的二次對稱點(diǎn),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為;
②若點(diǎn)C(﹣5,0)是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線l2:x=a的二次對稱點(diǎn),則a的值為;
③若點(diǎn)D(2,1)是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線l3的二次對稱點(diǎn),則直線l3的表達(dá)式為
(2)如圖2,⊙O的半徑為1.若⊙O上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M'是點(diǎn)M關(guān)于y軸,直線l4:x=b的二次對稱點(diǎn),且點(diǎn)M'在射線y= x(x≥0)上,b的取值范圍是;
(3)E(t,0)是x軸上的動點(diǎn),⊙E的半徑為2,若⊙E上存在點(diǎn)N,使得點(diǎn)N'是點(diǎn)N關(guān)于y軸,直線l5:y= x+1的二次對稱點(diǎn),且點(diǎn)N'在y軸上,求t的取值范圍.

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【題目】如圖是某電視塔周圍的建筑群平面示意圖,這個(gè)電視塔的位置用A表示.某人由點(diǎn)B出發(fā)到電視塔,他的路徑表示錯(cuò)誤的是(注:街在前,巷在后)( )

A. (2,2)→(2,5)→(5,6) B. (2,2)→(2,5)→(6,5)

C. (2,2)→(6,2)→(6,5) D. (2,2)→(2,3)→(6,3)→(6,5)

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[來

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(2)請你幫助小明計(jì)算并選擇哪個(gè)出游方案合算。

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(2)如圖②,延長BI,交外角∠ACE的平分線于點(diǎn)F.

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