【題目】如圖1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC∠ABC的平分線BEACE

1)求證:AE=BC;

2)如圖(2),過點EEF∥BCABF,將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角αα144°)得到△AE′F′,連結(jié)CE′BF′,求證:CE′=BF′

3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE′∥AB?若存在,求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)證明:∵AB=BC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°

∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=36°。

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°。∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C

∴AE=BE,BE=BC∴AE=BC。

2)證明:∵AC=ABEF∥BC∴AE=AF;

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,

CAE′BAF′中, ,

∴△CAE′≌△BAF′。∴CE′=BF′

3)存在CE′∥AB。

由(1)可知AE=BC,所以,在△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中,E點經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點,

如圖:當(dāng)點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,

∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°

∴α=∠CAM=36°。

當(dāng)點E的像E′與點N重合時,

AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,

∵AM=AN,∴∠ANM=∠AMN=72°

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°。

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°。

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°72°時,CE′∥AB。

【解析】試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,根據(jù)全等三角形證明方法得出即可;(3)分別根據(jù)當(dāng)點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,當(dāng)點E的像E′與點N重合時,求出α即可.

試題解析:(1)證明:∵AB=BC,∠A=36°,

∴∠ABC=∠C=72°,

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠CBE=36°,

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°

∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C

∴AE=BE,BE=BC,

∴AE=BC

2)證明:∵AC=ABEF∥BC

∴AE=AF;

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,

△CAE′△BAF′

∴△CAE′≌△BAF′,

∴CE′=BF′

3)存在CE′∥AB,

理由:由(1)可知AE=BC,所以,在△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中,E點經(jīng)過的路徑(圓。┡c過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點,

如圖:當(dāng)點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,

∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°

∴α=∠CAM=36°

當(dāng)點E的像E′與點N重合時,

AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,

∵AM=AN

∴∠ANM=∠AMN=72°,

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°,

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°

所以,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°72°時,CE′∥AB

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AE=AD=2

DE=,

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