Question

操作發(fā)現(xiàn)

將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合．

問(wèn)題解決

將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．

（1）求證：△CDO是等腰三角形；

（2）若DF=8，求AD的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（2）12-4．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可得BC=DE，進(jìn)而得到∠BDC=∠BCD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出度數(shù)，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，進(jìn)而算出度數(shù)，根據(jù)角度可得△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，首先根據(jù)∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，進(jìn)而得到BC=8，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BG=AG=4，證明四邊形AGHD為矩形，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得AD長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：由圖①知BC=DE，

∴∠BDC=∠BCD，

∵∠DEF=30°，

∴∠BDC=∠BCD=75°，

∵∠ACB=45°，

∵∠DCO+∠BCO=75°

∴∠DCO=30°

∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°，

∴∠DOC=30°+45°=75°，

∴∠DOC=∠BDC，

∴△CDO是等腰三角形；

（2）【解析】
作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，

在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，

∴DH=4，HF=4，

在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，

∴DB=8，BF=16，

∴BC=BD=8，

∵AG⊥BC，∠ABC=45°，

∴BG=AG=4，

∴AG=DH，

∵AG∥DH，AG⊥BC，

∴四邊形AGHD為矩形，

∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4．

考點(diǎn)：等腰直角三角形；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．