Question

數(shù)學(xué)活動(dòng)﹣求重疊部分的面積

（1）問(wèn)題情境：如圖①，將頂角為120°的等腰三角形紙片（紙片足夠大）的頂點(diǎn)P與等邊△ABC的內(nèi)心O重合，已知OA=2，則圖中重疊部分△PAB的面積為　 　．

（2）探究1：在（1）的條件下，將紙片繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，紙片兩邊分別與AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積是否相等？如果相等，請(qǐng)給予證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）探究2：如圖③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD為∠CAB的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P在射線(xiàn)AD上，且AP=2，以P為頂點(diǎn)的等腰三角形紙片（紙片足夠大）與∠CAB的兩邊AC，AB分別交于點(diǎn)E、F，∠EPF=180°﹣α，求重疊部分的面積．（用α或的三角函數(shù)值表示）

 

Answer 1

（1）；

（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等，理由見(jiàn)解析；

（3）重疊部分得面積為：4sincos．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)O是等邊三角形ABC的內(nèi)心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，結(jié)合條件OA=2即可求出重疊部分的面積；

（2）由旋轉(zhuǎn)可得∠FOE=∠BOA，從而得到∠EOA=∠FOB，進(jìn)而可以證到△EOA≌△FOB，因而重疊部分面積不變；

（3）在射線(xiàn)AB上取一點(diǎn)G，使得PG=PA，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AF，垂足為H，方法同（2），可以證到重疊部分的面積等于△PAG的面積，只需求出△PAG的面積就可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AB，垂足為N，如圖①，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠CAB=∠CBA=60°．

∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心

∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA．

∴∠OAB=∠OBA=30°．

∴OB=OA=2．

∵ON⊥AB，

∴AN=NB，PN=1．

∴AN=

∴AB=2AN=2．

∴S△OAB=AB•PN=．

故答案為：；

（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．

連接AO、BO，如圖②，

由旋轉(zhuǎn)可得：∠EOF=∠AOB，則∠EOA=∠FOB．

在△EOA和△FOB中，

∴△EOA≌△FOB．

∴S四邊形AEOF=S△OAB．

∴圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等；

（3）在射線(xiàn)AB上取一點(diǎn)G，使得PG=PA，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AF，垂足為H，如圖③，則有AH=GH=AG．

∵∠CAB=α，AD為∠CAB的角平分線(xiàn)，

∴∠PAE=∠PAF=∠CAB=．

∵PG=PA，

∴∠PGA=∠PAG=．

∴∠APG=180°﹣α．

∵∠EPF=180°﹣α，

∴∠EPF=∠APG．

同理可得：S四邊形AEPF=S△PAG．

∵AP=2，

∴PH=2sin，AH=2cos．

∴AG=2AH=4cos．

∴S△PAG=AG•PH=4sincos．

∴重疊部分得面積為：S面積=4sincos．

考點(diǎn)：幾何變換綜合題．