Question

數學活動﹣求重疊部分的面積

（1）問題情境：如圖①，將頂角為120°的等腰三角形紙片（紙片足夠大）的頂點P與等邊△ABC的內心O重合，已知OA=2，則圖中重疊部分△PAB的面積為　 　．

（2）探究1：在（1）的條件下，將紙片繞P點旋轉至如圖②所示位置，紙片兩邊分別與AC，AB交于點E，F，圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積是否相等？如果相等，請給予證明；如果不相等，請說明理由．

（3）探究2：如圖③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD為∠CAB的角平分線，點P在射線AD上，且AP=2，以P為頂點的等腰三角形紙片（紙片足夠大）與∠CAB的兩邊AC，AB分別交于點E、F，∠EPF=180°﹣α，求重疊部分的面積．（用α或的三角函數值表示）

 

Answer 1

（1）；

（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等，理由見解析；

（3）重疊部分得面積為：4sincos．

【解析】

試題分析：（1）由點O是等邊三角形ABC的內心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，結合條件OA=2即可求出重疊部分的面積；

（2）由旋轉可得∠FOE=∠BOA，從而得到∠EOA=∠FOB，進而可以證到△EOA≌△FOB，因而重疊部分面積不變；

（3）在射線AB上取一點G，使得PG=PA，過點P作PH⊥AF，垂足為H，方法同（2），可以證到重疊部分的面積等于△PAG的面積，只需求出△PAG的面積就可解決問題．

試題解析：（1）過點O作ON⊥AB，垂足為N，如圖①，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠CAB=∠CBA=60°．

∵點O為△ABC的內心

∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA．

∴∠OAB=∠OBA=30°．

∴OB=OA=2．

∵ON⊥AB，

∴AN=NB，PN=1．

∴AN=

∴AB=2AN=2．

∴S△OAB=AB•PN=．

故答案為：；

（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．

連接AO、BO，如圖②，

由旋轉可得：∠EOF=∠AOB，則∠EOA=∠FOB．

在△EOA和△FOB中，

∴△EOA≌△FOB．

∴S四邊形AEOF=S△OAB．

∴圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等；

（3）在射線AB上取一點G，使得PG=PA，過點P作PH⊥AF，垂足為H，如圖③，則有AH=GH=AG．

∵∠CAB=α，AD為∠CAB的角平分線，

∴∠PAE=∠PAF=∠CAB=．

∵PG=PA，

∴∠PGA=∠PAG=．

∴∠APG=180°﹣α．

∵∠EPF=180°﹣α，

∴∠EPF=∠APG．

同理可得：S四邊形AEPF=S△PAG．

∵AP=2，

∴PH=2sin，AH=2cos．

∴AG=2AH=4cos．

∴S△PAG=AG•PH=4sincos．

∴重疊部分得面積為：S面積=4sincos．

考點：幾何變換綜合題．