Question

【題目】如圖：在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數y=與一次函數y=﹣x+7的圖象交于點A．

（1）求點A的坐標；

（2）在y軸上確定點M，使得△AOM是等腰三角形，請直接寫出點M的坐標；

（3）如圖、設x軸上一點P（a，0），過點P作x軸的垂線（垂線位于點A的右側），分別交y=和y=﹣x+7的圖象于點B、C，連接OC，若BC=OA，求△ABC的面積及點B、點C的坐標；

（4）在（3）的條件下，設直線y=﹣x+7交x軸于點D，在直線BC上確定點E，使得△ADE的周長最小，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（3，4）；（2）點M為（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）；（3）點B（9，12）、C（9，﹣2）；（4）點E坐標為（9，1）．

【解析】

試題分析：（1）聯立正比例函數與一次函數解析式組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，確定出A坐標即可；

（2）利用勾股定理求出OA的長，根據M在y軸上，且△AOM是等腰三角形，如圖1所示，分情況討論，求出M坐標即可；

（3）設出B與C坐標，表示出BC，由已知BC與OA關系，及OA的長求出BC的長，求出a的值，如圖2所示，過A作AQ垂直于BC，求出三角形ABC面積；由a的值確定出B與C坐標即可；

（4）如圖3所示，作出D關于直線BC的對應點D′，連接AD′，與直線BC交于點E，此時△ADE周長最小，求出此時E坐標即可．

解：（1）聯立得：，

解得：，

則點A的坐標為（3，4）；

（2）根據勾股定理得：OA==5，

如圖1所示，分四種情況考慮：

當OM1=OA=5時，M1（0，5）；

當OM2=OA=5時，M2（0，﹣5）；

當AM3=OA=5時，M3（0，8）；

當OM4=AM4時，M4（0，），

綜上，點M為（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）；

（3）設點B（a，a），C（a，﹣a+7），

∵BC=OA=×5=14，

∴a﹣（﹣a+7）=14，

解得：a=9，

過點A作AQ⊥BC，如圖2所示，

∴S△ABC=BCAQ=×14×（9﹣3）=42，

當a=9時，a=×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，

∴點B（9，12）、C（9，﹣2）；

（4）如圖3所示，作出D關于直線BC的對稱點D′，連接AD′，與直線BC交于點E，連接DE，此時△ADE周長最小，

對于直線y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），

由（3）得到直線BC為直線x=9，

∴D′（11，0），

設直線AD′解析式為y=kx+b，

把A與D′坐標代入得：，

解得：，

∴直線AD′解析式為y=﹣x+，

令x=9，得到y(tǒng)=1，

則此時點E坐標為（9，1）．