Question

如圖，拋物線y=y=ax²-8ax+12a與x軸交A、B兩點(diǎn)，P在y軸正半軸，PB與拋物線交于C，已知C是BP的中點(diǎn)，∠PBO=45°．
（1）求拋物線解析式；
（2）若將該拋物線沿x軸或y軸方向平移，使平移后的拋物線以P為頂點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)出一種平移的方案．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，解ax²-8ax+12a=0，解得x₁=2，x₂=6，則A（2，0），B（6，0），則利用∠PBO=45°可確定P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），接著利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²-8ax+12a中求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）先把（1）中的解析式配方得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），再利用點(diǎn)平移的規(guī)律，把點(diǎn)（4，4）先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到點(diǎn)P（0，6），由此可得到拋物線y=-x²+8x-12平移的方向與距離，使平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，ax²-8ax+12a=0，解得x₁=2，x₂=6，則A（2，0），B（6，0），
∵∠PBO=45°，
∴OP=OB=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∵C是BP的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
把C（3，3）代入y=ax²-8ax+12a得9a-24a+12a=3，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+8x-12；
（2）∵y=-x²+8x-12=-（x-4）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），
把點(diǎn)（4，4）先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P（0，6），
∴把拋物線y=-x²+8x-12先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．