Question

已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于點B，
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，AB=6，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）利用圓周角定理結合切線的判定方法得出∠OAE+∠BAD=90°，即可得出答案；
（2）首先得出△OAE∽△ADB，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：（1）證明：連接OA，OB，過點O作OE⊥AB于點E，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠EOB，
∵∠ACB=∠BAD，
∴∠AOE=∠BAD，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∴AD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠AOE=∠BAD，∠AEO=∠ABD=90°，
∴△OAE∽△ADB，
∴

AO

AD

=

EO

AB

，
∵⊙O的半徑為5，AB=6，
∴AE=3，則EO=4，
∴

5

AD

=

4

6

，
解得：AD=7.5．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定等知識，正確掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．