【題目】中, ,點(diǎn) (不與點(diǎn)重合)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,以為邊在的右側(cè)作正方形,連接

1)發(fā)現(xiàn)問題:如圖(1),若,則的位置關(guān)系_________;

2)拓展探究:如圖(2),若,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由;

3)解決問題:若,設(shè)正方形的邊與線段相交于點(diǎn),請(qǐng)直接寫出線段的最大值

【答案】1;(2)仍然成立,見解析;(31

【解析】

1)由正切值可得∠ACB=45°,結(jié)合AB=AC,可知△ABC為等腰直角三角形,再利用正方形的性質(zhì)可證明△BAD≌△CAF,進(jìn)而得到∠ACF=45°,推出∠FCB=90°即可得證;

2)過點(diǎn),交于點(diǎn),同(1)可證CFBD;

3)過點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn),易證,設(shè),則,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例建立yx的函數(shù)關(guān)系,即可求出CP的最大值.

解:(1

四邊形是正方形,

,

在△BAD和△CAF中,

AB=AC,∠BAD=CAF,AD=AF

SAS),

,

2)(1)中的結(jié)論仍然成立,理由如下:

如圖(1),過點(diǎn),交于點(diǎn),則

,

四邊形是正方形,

,

,

,

在△GAD和△CAF中,

AG=AC,∠GAD=CAF,AD=AF

SAS),

,

,即

1)中的結(jié)論仍然成立.

3)線段的最大值為1

如圖(2),過點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

設(shè),,則

由(2)知, ,

∵∠ADE=90°

∴∠ADQ+CDP=90°

∵∠DPC+CDP=90°

∴∠ADQ=DPC

又∵∠AQD=DCP=90°,

,即,

當(dāng)時(shí), 有最大值1

即線段的最大值為1

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