【題目】我們定義:如圖1,在中,把AB繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到,把AC繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到,連接.當(dāng)時(shí),我們稱的“旋補(bǔ)三角形”,邊上的中線AD叫做的“旋補(bǔ)中線”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

特例感知

1)在圖2、圖3中,是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,是的“旋補(bǔ)中線”.

如圖2,當(dāng)為等邊三角形時(shí),AD的數(shù)量關(guān)系為AD= ;

如圖3,當(dāng)時(shí),則長(zhǎng)為

猜想論證

(2)在圖1中,當(dāng)為任意三角形時(shí),猜想BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在四邊形中,.在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn),使的“旋補(bǔ)三角形”?若存在,求的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1;②4 ;(2,證明見(jiàn)解析;(3)存在,

【解析】

1)①首先證明是含有30°的直角三角形,可得即可解決問(wèn)題;

②首先證明,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;

2)如圖所示作出輔助線,首先證明四邊形是平行四邊形,再證明,即可解決問(wèn)題;

3)如圖所示作出輔助線,證明PA=PD,PB=PC,再證明∠APD+∠BPC=180°即可.

解:(1)①在圖2中,

∵△ABC是等邊三角形,

AB=BC=AC=

,

AD

∵∠BAC=60°,∠BAC+,

,

,

故答案為:;

②在圖3中,

∵∠BAC=90°,∠BAC+,

,

,,

,

故答案為:4

2)結(jié)論為:

理由:如下圖,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M,使得AD=DM,連接,

AD=DM,

∴四邊形是平行四邊形,

,

∵∠BAC+,

,

SAS

BC=AM

3)存在,

理由:如圖4中,延長(zhǎng)ADBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作BEAD于點(diǎn)E,作線段BC的垂直平分線交BE于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)F,連接PA、PD、PC,作△PCD的中線PN,連接DFPC于點(diǎn)O

∵∠ADC=150°,

∴∠MDC=30°,

Rt△DCM中,

,∠DCM=90°,∠MDC=30°,

CM=2DM=4,∠M=60°,

RtBEM中,∵∠BEM=90°,BM=14,∠MBE=30°

EM=,

DE=EM-DM=3,

AD=6,

AE=DE

BE⊥AD,

PA=PD,PB=PC,

Rt△CDF中,∵CD=,CF=6

,

∴∠CDF=60°=∠CPF

∴△FCP≌△CFD,

CD=PF,

又∵CD∥PF

∴四邊形CDPF是矩形,

∴∠CDP=90°

∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°,

∴△ADP是等邊三角形,

∴∠ADP=60°,

∵∠BPF=∠CPF=60°,

∴∠BPC=120°,

∴∠APD+∠BPC=180°,

∴△PCD是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”,

Rt△PDN中,∵∠PDN=90°PD=AD=6,DN=,

PN=

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