【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，，，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)A，C重合，連接PD，作交射線BC于點(diǎn)E，以線段PD，PE為鄰邊作矩形PEFD．

線段PD的最小值為______；

求證：，并求矩形PEFD面積的最小值；

是否存在這樣的點(diǎn)P，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出PE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3） PE的長為或．

【解析】

如圖1中，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，DP的值最小利用面積法即可解決問題；

如圖2中，連接DE、PF交于點(diǎn)O，連接FC，首先證明D、P、E、C、F五點(diǎn)共圓，由∽，推出，即可解決問題；

分兩種情形：點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上，分別求解即可解決問題；

解：如圖1中，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，DP的值最�。�

在中，，，

，

，

．

故答案為．

證明：如圖2中，連接DE、PF交于點(diǎn)O，連接FC，OC．

四邊形DPEF是矩形，

，

，

，

，

、P、E、C、F五點(diǎn)共圓，

是直徑，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

．

∴S矩形PEFD=PE·PD=PD2.

∵PD的最小值是，

∴矩形PEFD面積的最小值是=×()2=.

解：如圖3中，設(shè)AC交DE于H．

當(dāng)時(shí)，易證≌，

，

，

，

，

，

，

．

如圖4中，

當(dāng)時(shí)，，

，

在CD上取一點(diǎn)H，速度，則，設(shè)，則，，

，

，

，，

，

綜上所述，PE的長為或．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，半徑為4的與含有角的真角三角板ABC的邊AC切于點(diǎn)A，將直角三角板沿CA邊所在的直線向左平移，當(dāng)平移到AB與相切時(shí)，該直角三角板平移的距離為　　

A. 2 B. C. 4 D.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)下列條件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）

A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DB.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C.∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EFD.AB=DE，BC=EF，∠B=∠E

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=6，BC=9，則△ADE的面積為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四邊形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．

（1）如圖1，若∠B=∠C，試求出∠C的度數(shù)；

（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，且BE∥AD，試求出∠C的度數(shù)；

（3）①如圖3，若∠ABC和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)E，試求出∠BEC的度數(shù)．

②在①的條件下，若延長BA、CD交于點(diǎn)F（如圖4），將原來?xiàng)l件“∠A=145°，∠D=75°”改為“∠F=40°”，其他條件不變，∠BEC的度數(shù)會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變，請(qǐng)說明理由；若變化，求出∠BEC的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于O，MN過點(diǎn)O且與BC平行．△ABC的周長為20，△AMN的周長為12，求BC的長.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC≌△ADE，BC與DE交于點(diǎn)F．若∠BAE＝60°，∠DAC＝160°，則∠DFC的度數(shù)為____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），在上取一點(diǎn)，且∠CDE=50°．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知CE⊥AB于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD與CE交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC.

(1)圖中有多少對(duì)全等三角形？請(qǐng)你一一列舉出來(不要求說明理由)．

(2)小明說：欲說明BE＝CD，可先說明△AOE≌△AOD得到AE＝AD，再說明△ADB≌△AEC得到AB＝AC，然后利用等式的性質(zhì)即可得到BE＝CD，請(qǐng)問他的說法正確嗎？如果不正確，請(qǐng)說明理由；如果正確，請(qǐng)按他的思路寫出推導(dǎo)過程．

(3)要得到BE＝CD，你還有其他的思路嗎？請(qǐng)仿照小明的說法具體說一說你的想法．

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