Question

如圖，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D為△ABC外一點，且AD⊥BD，BD交AC于E，G為BC上一點，且∠BCG=∠DCA，過G點作GH⊥CG交CB于H．
（1）求證：CD=CG；
（2）若AD=CG，求證：AB=AC+CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）由AD⊥BD得到∠ADB=90°，而∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，根據(jù)三角形內角和得∠CAD=∠DBC，再根據(jù)等角的余角相等得到∠BCG=∠DCA，然后利用“ASA”可判斷△ADC≌△BCG，則CD=CG；
（2）延長EC到F使CF=CE，由△AGC≌△BCD得到AG=BD，由CG=BD可代換得到AG=CG，則∠GAC=∠GCA，而∠CGD=45°，所以∠GAC=22.5°，再利用AC⊥BC，CF=CE，得到△AEF為等腰三角形，于是∠FAC=∠EAC=22.5°，利用∠CAB=45°，∠ABC=45°可計算出∠FAB=67.5°，∠F=67.5°，得到∠F=∠FAB，所以AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，即有AB=AC+CE，只要證出BH=CD即可．

解答：（1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，
∴∠CAD=∠DBH，
∵∠BCG=∠DCA，
∵在△ACD和△BGC中

∠DAC=∠DBC ∠DCA=∠BCG AC=BC

∴△ACD≌△BGC（ASA），
∴CD=CG；
（2）證明：延長EC到F使CF=CE，如圖，
∵△AGC≌△BCD
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG為等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∴∠GAC=22.5°，
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF為等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，
∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，
∴∠F=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而BF=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質．