Question

如圖，△ABC是等邊三角形，EG∥BC，DE=DB．EF∥DC，連接DF．
（1）求證：△EDF≌△CFD；
（2）求證：△AEG≌△DCA；
（3）判斷△AEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDF=∠DFC，∠EFD=∠CDF，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可；
（2）求出三角形ADG是等邊三角形，求出∠AGD=∠DAC=60°，AG=AD，起床EG=AC，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可；
（3）根據(jù)全等得出AE=DC，DC=EF，∠AEG=∠ACD，∠DEF=∠DCB，求出∠AEF=∠AEG+∠FED=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理推出即可．

解答：證明：（1）∵EG∥BC，EF∥DC，
∴∠EDF=∠DFC，∠EFD=∠CDF，
在△EDF和△CFD中

∠EDF=∠DFC DF=DF ∠EFD=∠CDF

∴△EDF≌△CFD；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=90°，AB=BC=AC，
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，
即∠ADG=∠AGD=∠DAG=60°，
∴△ADG是等邊三角形，
∴AD=AG=DG，
∵AB=AC=BC，
∴BD=CG，
∵△EDF≌△CFD，
∴DE=DC，
∵DE=DB，DB=CG，
∴DE=CG，
∵DG=AG，
∴EG=CA，
在△AEG和△DCA中

EG=AC ∠AGE=∠DAC AG=AD

∴△AEG≌△DCA；

（3）解：△AEF的形狀是等邊三角形，
理由是：∵△AEG≌△DCA，△EDF≌△CFD，
∴AE=DC，DC=EF，∠AEG=∠ACD，∠DEF=∠DCB，
∵∠ACB=∠ACD+∠FCD=60°，
∴∠AEF=∠AEG+∠FED=∠ACB=60°，
∵AE=EF，
∴△AEF是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，有一定的難度．