Question

在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線+與直線交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，拋物線+ 與軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）.在直線上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1 圖2

 

Answer 1

（1）A(-1,0) ，B(2,3)

（2）△ABP最大面積s=; P（,-）

（3）存在；k=

【解析】

試題分析：（1）將兩個(gè)解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組即得

要想△ABP的面積最大，則要在要求的拋物線上找到一個(gè)點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線AB的距離最大，這時(shí)過(guò)點(diǎn)P且與AB平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式可確定平移后所得直線的解析式,進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo),求出面積

設(shè)圓心為E，連接EQ，直線與x軸交點(diǎn)為H，與y軸交點(diǎn)為F；由已知可得直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；由圓的切線及相似的知識(shí)可得出EQ、QH的長(zhǎng)，

再由勾股定理可得要求的值

試題解析：（1）A(-1,0) ，B(2,3)

（2）平移直線AB得到直線L，當(dāng)L與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△ABP面積最大[如圖12-1（1）]

設(shè)直線L解析式為： ，

根據(jù)，得

判別式△，解得，

代入原方程中，得；解得，，

∴P（,）

易求，AB交軸于M（0，1），直線L交軸于G（0，）

過(guò)M作MN⊥直線L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°

∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°

在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，[如圖12-1（2）]

∴ MN=，MN即為△ABP的高

由兩點(diǎn)間距離公式，求得：AB=

故△ABP最大面積

（3）設(shè)在直線上存在唯一一點(diǎn)Q使得∠OQC=90°

則點(diǎn)Q為以O(shè)C的中點(diǎn)E為圓心，OC為直徑形成的圓E與直線相切時(shí)的切點(diǎn),[如圖12-2（1）]

由解析式可知：C（,0），OC=，則圓E的半徑：OE=CE==QE

設(shè)直線與、軸交于H點(diǎn)和F點(diǎn)，則F（0,1），∴OF=1 則H（,0）， ∴OH =

∴ EH=

∵AB為切線 ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°

在△FOH和△EQH中

∴△FOH∽△EQH

∴ ∴ 1：=：QH，∴QH =

在RT△EQH中，EH=，QH =，QE =，根據(jù)勾股定理得，

+=

求得

考點(diǎn)：1、平面直角坐標(biāo)系中的平行與垂直；2、二次函數(shù)；3、一元二次方程根的判別式；4、圓（相切、圓心角）