Question

已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，∠BAF=∠DAE．
（1）求證：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定

專題：證明題

分析：（1）首先利用菱形的性質(zhì)得出AB=AD，∠B=∠D，進而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；
（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出△ABC和△ACD都是等邊三角形，進而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF為等邊三角形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，

∠B=∠D AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF；

（2）解：連接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，
∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，
又∵AE=AF，
∴△AEF是等邊三角形．

點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．