Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，A、B兩點的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，2）．若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，且與x軸的另一個交點為點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上一點，直線OP將四邊形OBCD的面積分成1：2兩部分．求出此時點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點Q是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)點Q的坐標(biāo)為何值時QD+QC最小？并求出最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得出BC=OA=3，BC∥OA，再由B（0，2），得出C（-3，2），然后把A、B、C三點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先畫出圖形，計算得出S_△OCD=6，S_{四邊形OBCD}=9，因此直線OP必經(jīng)過線段CD．設(shè)直線OP與線段CD的交點為E，根據(jù)題干可知：△ODE與四邊形OBCD的面積比應(yīng)該是1：2或2：1，即△ODE的面積是四邊形OBCD面積的

1

3

或

2

3

．①當(dāng)S_△ODE=

1

3

×9=3時，首先求出直線OE（即直線OP）的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后即可確定點P的坐標(biāo)；②當(dāng)S_△ODE=

2

3

×9=6時，P與C重合；
（3）連結(jié)BD交拋物線的對稱軸于點Q，則QD+QC=QD+QB=BD最小，在直角△OBD中運用勾股定理求出BD=2

10

．運用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=

1

3

x+2，將x=-

3

2

代入，求出y的值，即可得到點Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，A（3，0），
∴BC=OA=3，BC∥OA．
∵B（0，2），
∴C（-3，2）．
把A、B、C三點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，
得

9a+3b+c=0 c=2 9a-3b+c=2

，解得

a=- 1 9 b=- 1 3 c=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

9

x²-

1

3

x+2；

（2）∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2，
∴當(dāng)y=0時，-

1

9

x²-

1

3

x+2=0，
解得x₁=3，x₂=-6，
∴D點坐標(biāo)為（-6，0）．
∵S_△OCD=

1

2

×6×2=6，S_{四邊形OBCD}=S_△OBC+S_△OCD=

1

2

×3×2+6=3+6=9，
∴當(dāng)直線OP將四邊形OBCD的面積分成1：2兩部分時，設(shè)直線OP與直線CD交于點E，則△ODE的面積可以為3或6．
①當(dāng)S_△ODE=

1

3

×9=3時，
∵S_△ODP=

1

2

S_△OCD，
∴E為CD的中點，
∵C（-3，2），D（-6，0），
∴E點坐標(biāo)為（-4.5，1）．
設(shè)直線OE的解析式為y=kx，則-4.5x=1，
解得k=-

2

9

，
∴y=-

2

9

x．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-

1

9

x²-

1

3

x+2），
則-

1

9

x²-

1

3

x+2=-

2

9

x，
解得：x₁=

-1- 73

2

，x₂=

-1+ 73

2

（舍去），
∴P₁（

-1- 73

2

，

1+ 73

9

）；
②當(dāng)S_△ODE=

2

3

×9=6時，P與C重合．
∴P₂點坐標(biāo)為（-3，2）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為P₁（

-1- 73

2

，

1+ 73

9

），P₂（-3，2）；

（3）如圖，連結(jié)BD交拋物線的對稱軸于點Q，則QD+QC=QD+QB=BD最小，BD=

OB2+OD2

=

22+62

=2

10

．
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，
∵B（0，2），D（-6，0），
∴

b=2 -6k+b=0

，解得

k= 1 3 b=2

，
∴y=

1

3

x+2．
∵拋物線y=-

1

9

x²-

1

3

x+2的對稱軸為x=-

3

2

，
∴當(dāng)x=-

3

2

時，y=

1

3

×（-

3

2

）+2=

3

2

，
∴點Q的坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

2

）時QD+QC最小，此時最小值為2

10

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有平行四邊形的性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，圖形面積的求法，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想是解題的關(guān)鍵．