Question

如圖，點(diǎn)A是直線y=2x上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-m）²+h交直線y=2x于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C（點(diǎn)A，E，F(xiàn)兩兩不重合）．
（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使EF與x軸平行時(shí)，求

AC

OF

的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)A在直線y=2x上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使點(diǎn)F的位置最低的情形？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)及

AC

OF

 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把A點(diǎn)橫坐標(biāo)1坐標(biāo)代入直線y=2x可求出縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到m和h的值，再聯(lián)立拋物線和直線y=2x即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)EF與x軸平行時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到FC=CE，然后利用CA∥y軸怎么△ECA∽△EFO，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到

AC

OF

的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在直線y=2x上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在使點(diǎn)F的位置最低的情形，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m²+2m，當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)F的位置最低，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），所以拋物線解析式為y=（x+1）²-2．求得該拋物線與直線y=2x的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2），進(jìn)而可求出

AC

OF

的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A是直線y=2x上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
∴A的縱坐標(biāo)為2，
∵以A為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-m）²+h，
∴y=（x-1）²+2，
∵拋物線交直線y=2x于另一點(diǎn)E，
∴

y=2x y=(x-1)2+2

，
解得：

x=1 y=2

或

x=3 y=6

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)（3，6）；                                                     
（2）當(dāng)EF∥x軸時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴EC=CF．
∵CA∥y軸，
∴△ECA∽△EFO，
∴

AC

OF

=

EC

EF

=

1

2

；                                                       
（3）當(dāng)點(diǎn)A在直線y=2x上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在使點(diǎn)F的位置最低的情形，
理由如下：
點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m²+2m，當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)F的位置最低，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），
∵拋物線解析式為y=（x+1）²-2．
求得該拋物線與直線y=2x的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2），
∴OA=OE，
∴

AC

OF

=

AE

OE

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的平移、函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．