Question

已知在△ABC中，E、F分別為AB、AC邊上的點，且BE=CF，試證明：EF＜BC．

Answer 1

考點：三角形邊角關(guān)系,正弦定理與余弦定理

專題：證明題

分析：連接EC，如圖．根據(jù)余弦定理可得：BC²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠BEC，EF²=FC²+EC²-2FC•EC•cos∠ECF．由BE=CF可得EF²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠ECF．然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得180°＞∠BEC＞∠ECF＞0°，再根據(jù)余弦函數(shù)的增減性可得cos∠BEC＜cos∠ECF，從而可得EF²＜BC²，即EF＜BC．

解答：證明：連接EC，如圖．

由余弦定理可得：BC²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠BEC，
EF²=FC²+EC²-2FC•EC•cos∠ECF．
∵BE=CF，
∴EF²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠ECF．
根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得；180°＞∠BEC＞∠ECF＞0°，
根據(jù)余弦函數(shù)的增減性可得：cos∠BEC＜cos∠ECF，
∴EF²＜BC²，即EF＜BC．

點評：本題主要考查了三角形的邊角關(guān)系、余弦定理、三角形外角的性質(zhì)、余弦函數(shù)的增減性等知識，而運用余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．