Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，有一矩形OABC，點B的坐標(biāo)為（10，8），點B關(guān)于過點C的直線l₁的對稱點E落在OA邊上，直線l₁交AB于點F．
（1）請求直線l₁的解析式；
（2）現(xiàn)把直線l₁向下平移a（0≤a≤8）個單位長度，得到直線l₂．設(shè)直線l₂交射線FA于點M，交x軸于點N，設(shè)△MAN的面積為S，請求S與a之間的函數(shù)關(guān)系式．（請直接寫出相應(yīng)的自變量a的取值范圍）；
（3）在（2）問的基礎(chǔ)上，請問a為何值時，△MEF為等腰三角形．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）連接CE，EF．先由軸對稱的性質(zhì)得出CE=CB=10，EF=BF，在Rt△COE中，由勾股定理求出OE=6，則AE=4，在Rt△AEF中，設(shè)AF=x，則EF=BF=8-x，由勾股定理得出（8-x）²=4²+x²，解方程求得x=3，得到F（10，3），然后設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，將C、F兩點的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線l₁的解析式；
（2）先由直線“上加下減”的平移規(guī)律得到直線l₂的解析式為：y=-

1

2

x+8-a，再分別求出點M、N的坐標(biāo)，得到AM=a-3，AN=2a-6，然后利用三角形的面積公式即可求出S=

1

2

AN•AM=a²-6a+9；
（3）當(dāng)△MEF為等腰三角形時，分三種情況進(jìn)行討論：①M(fèi)E=MF；②FM=FE；③EM=EF．

解答：解：（1）如圖1．連接CE，EF．
∵點B與點E關(guān)于過點C的直線l₁對稱，
∴CE=CB=10，EF=BF．
在Rt△COE中，∵∠COE=90°，CE=10，OC=8，
∴OE=

CE2-OC2

=6，
∴AE=OA-OE=10-6=4．
在Rt△AEF中，∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²，
設(shè)AF=x，則EF=BF=8-x，
∴（8-x）²=4²+x²，
解得x=3，
∴F（10，3）．
設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，
∵C（0，8），F(xiàn)（10，3），
∴

b=8 10k+b=3

，解得

k=- 1 2 b=8

，
∴直線l₁的解析式為：y=-

1

2

x+8；

（2）如圖2．∵把直線l₁：y=-

1

2

x+8向下平移a（0≤a≤8）個單位長度，得到直線l₂，
∴直線l₂的解析式為：y=-

1

2

x+8-a，
當(dāng)x=10時，y=3-a，即M（10，3-a），∴AM=a-3，
當(dāng)y=0時，x=16-2a，即N（16-2a，0），∴AN=OA-ON=10-（16-2a）=2a-6，
∴S=

1

2

AN•AM=

1

2

（2a-6）（a-3）=a²-6a+9，
∵AM≠0，∴a-3≠0，∴a≠3，
∴S=a²-6a+9（0≤a≤8，a≠3）；

（3）如圖3．∵F（10，3），M（10，3-a），E（6，0），
∴FM=3-（3-a）=a，EF=5，EM²=（10-6）²+（3-a）²=16+（3-a）²．
當(dāng)△MEF為等腰三角形時，分三種情況：
①如果ME=MF，那么16+（3-a）²=a²，
解得a=

25

6

；
②如果FM=FE，那么a²=25，
解得a=±5（負(fù)值舍去）；
③如果EM=EF，那么16+（3-a）²=25，
解得a=6或0，a=0不合題意舍去．
綜上所述，a為

25

6

或5或6時，△MEF為等腰三角形．

點評：本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，直線平移的規(guī)律，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想是解題的關(guān)鍵．