【題目】(問題情境)

張老師給愛好學習的小軍和小俊提出這樣的一個問題:如圖1,在ABC中,ABAC,點P為邊BC上任一點,過點PPDAB,PEAC,垂足分別為DE,過點CCFAB,垂足為F,求證:PD+PECF

小軍的證明思路是:如圖2,連接AP,由ABPACP面積之和等于ABC的面積可以證得:PD+PECF

小俊的證明思路是:如圖2,過點PPGCF,垂足為G,可以證得:PDGFPECG,則PD+PECF

[變式探究]

如圖3,當點PBC延長線上時,其余條件不變,求證:PDPECF;

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題:

[結論運用]

如圖4,將矩形ABCD沿EF折疊,使點D落在點B上,點C落在點C處,點P為折痕EF上的任一點,過點PPGBE、PHBC,垂足分別為G、H,若AD8CF3,求PG+PH的值;

[遷移拓展]

5是一個航模的截面示意圖.在四邊形ABCD中,EAB邊上的一點,EDAD,ECCB,垂足分別為D、C,且ADCEDEBC,AB2dm,AD3dmBDdmM、N分別為AEBE的中點,連接DMCN,求DEMCEN的周長之和.

【答案】小軍的證明:見解析;小俊的證明:見解析;[變式探究]見解析;[結論運用]PG+PH的值為4;[遷移拓展](6+2dm

【解析】

小軍的證明:連接AP,利用面積法即可證得;

小俊的證明:過點PPGCF,先證明四邊形PDFG為矩形,再證明△PGC≌△CEP,即可得到答案;

[變式探究]小軍的證明思路:連接AP,根據(jù)SABCSABPSACP,即可得到答案;

小俊的證明思路:過點C,作CGDP,先證明四邊形CFDG是矩形,再證明△CGP≌△CEP即可得到答案;

[結論運用] 過點EEQBC,先根據(jù)矩形的性質求出BF,根據(jù)翻折及勾股定理求出DC,證得四邊形EQCD是矩形,得出BEBF即可得到答案;

[遷移拓展]延長ADBC交于點F,作BHAF,證明△ADE∽△BCE得到FA=FB,設DHx,利用勾股定理求出x得到BH6,再根據(jù)∠ADE=∠BCE90°,且M,N分別為AE,BE的中點即可得到答案.

小軍的證明:

連接AP,如圖②

PDAB,PEAC,CFAB,

SABCSABP+SACP

AB×CFAB×PD+AC×PE,

ABAC

CFPD+PE

小俊的證明:

過點PPGCF,如圖2,

PDAB,CFAB,PGFC,

∴∠CFD=∠FDG=∠FGP90°,

∴四邊形PDFG為矩形,

DPFG,∠DPG90°

∴∠CGP90°,

PEAC,

∴∠CEP90°,

∴∠PGC=∠CEP,

∵∠BDP=∠DPG90°

PGAB,

∴∠GPC=∠B,

ABAC,

∴∠B=∠ACB,

∴∠GPC=∠ECP,

PGCCEP

,

∴△PGC≌△CEP

CGPE,

CFCG+FGPE+PD;

[變式探究]

小軍的證明思路:連接AP,如圖③,

PDABPEAC,CFAB

SABCSABPSACP,

AB×CFAB×PDAC×PE,

ABAC

CFPDPE;

小俊的證明思路:

過點C,作CGDP,如圖③,

PDABCFAB,CGDP

∴∠CFD=∠FDG=∠DGC90°,

CFGD,∠DGC90°,四邊形CFDG是矩形,

PEAC

∴∠CEP90°,

∴∠CGP=∠CEP,

CGDPABDP,

∴∠CGP=∠BDP90°

CGAB,

∴∠GCP=∠B,

ABAC,

∴∠B=∠ACB,

∵∠ACB=∠PCE,

∴∠GCP=∠ECP,

CGPCEP中,

,

∴△CGP≌△CEP,

PGPE,

CFDGDPPGDPPE

[結論運用]

如圖④

過點EEQBC

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,∠C=∠ADC90°,

AD8CF3,

BFBCCFADCF5,

由折疊得DFBF,∠BEF=∠DEF,

DF5,

∵∠C90°

DC4,

EQBC,∠C=∠ADC90°,

∴∠EQC90°=∠C=∠ADC,

∴四邊形EQCD是矩形,

EQDC4,

ADBC

∴∠DEF=∠EFB,

∵∠BEF=∠DEF,

∴∠BEF=∠EFB,

BEBF,

由問題情景中的結論可得:PG+PHEQ

PG+PH4

PG+PH的值為4

[遷移拓展]

延長AD,BC交于點F,作BHAF,如圖⑤,

AD×CEDE×BC,

EDAD,ECCB,

∴∠ADE=∠BCE90°,

∴△ADE∽△BCE

∴∠A=∠CBE,

FAFB,

由問題情景中的結論可得:ED+ECBH,

DHx,

AHAD+DH3+x

BHAF,

∴∠BHA90°,

BH2BD2DH2AB2AH2

AB2,AD3,BD,

∴(2x2=(22﹣(3+x2,

x1,

BH2BD2DH237136,

BH6,

ED+EC6,

∵∠ADE=∠BCE90°,且M,N分別為AE,BE的中點,

DMEMAECNENBE,

∴△DEMCEN的周長之和

DE+DM+EM+CN+EN+EC

DE+AE+BE+EC

DE+AB+EC

DE+EC+AB

6+2

∴△DEMCEN的周長之和(6+2dm

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,ADBCD,BD=AD,DG=DC,E,F分別是BG,AC的中點.

1)求證:DE=DF,DEDF

2)連接EF,若AC=10,求EF的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某商店購進一種商品,每件商品進價30元試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y(件)

與每件銷售價x(元)的關系數(shù)據(jù)如下:

x

30

32

34

36

y

40

36

32

28

(1)已知y與x滿足一次函數(shù)關系,根據(jù)上表,求出y與x之間的關系式(不寫出自變量x的取值范圍);

(2)如果商店銷售這種商品,每天要獲得150元利潤,那么每件商品的銷售價應定為多少元?

(3)設該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w(元),求出w與x之間的關系式,并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB90°,∠ABC30°,BC2.將△ABC繞點C逆時針旋轉某個角度后得到△ABC,當點A的對應點A′落在AB邊上時,陰影部分的面積為___________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)a≠0)的圖象如圖所示,則下列命題中正確的是( 。

A. a bc

B. 一次函數(shù)y=ax +c的圖象不經(jīng)第四象限

C. mam+b+bam是任意實數(shù))

D. 3b+2c0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知直線軸交于點,與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點,的面積為.

1)求一次函數(shù)的解析式;

2)求點坐標和反比例函數(shù)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,反比例函數(shù)y1的圖象與一次函數(shù)y2ax+b的圖象相交于點A1,4)和B(﹣2n).

1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;

2)請根據(jù)圖象直接寫出y1y2時,x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠C90°,以BC為直徑的⊙OAB于點D,EAC中點.

1)求證:DE是⊙O的切線;

2)若AB10,BC6,連接CDOE,交點為F,求OF的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%

1)設小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式,并確定自變量x的取值范圍.

2)當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?

3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進價×銷售量)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案