Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，E是AC中點(diǎn)．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，BC＝6，連接CD，OE，交點(diǎn)為F，求OF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OF＝1.8

【解析】

（1）由題意連接CD、OD，求得即可證明DE是⊙O的切線；

（2）根據(jù)題意運(yùn)用切線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)和勾股定理以及三角形的面積公式進(jìn)行綜合分析求解.

解：（1）證明：連接CD，OD

∵∠ACB＝90°，BC為⊙O直徑，

∴∠BDC=∠ADC＝90°，

∵E為AC中點(diǎn)，

∴EC＝ED=AE，

∴∠ECD＝∠EDC；

又∵∠OCD＝∠CDO，

∴∠EDC+∠CDO＝∠ECD+ ∠OCD= ∠ACB＝90°，

∴DE是⊙O的切線.

（2）解：連接CD，OE，

∵∠ACB＝90°，

∴AC為⊙O的切線，

∵DE是⊙O的切線，

∴EO平分∠CED，

∴OE⊥CD，F為CD的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)E、O分別為AC、BC的中點(diǎn)，

∴OE＝AB＝＝5，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，

∵在Rt△ADC中，E為AC的中點(diǎn)，

∴DE＝AC＝＝4，

在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，

由三角形的面積公式得：S△EDO＝，

即4×3＝5×DF，

解得：DF＝2.4，

在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．