【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,AB=15,動點P從點A出發(fā),沿AC→CB→BA邊運動,點P在AC、CB、BA邊上運動的速度分別為每秒3、4、5個單位,直線l從與AC重合的位置開始,以每秒 個單位的速度沿CB方向移動,移動過程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點,點P與直線l同時出發(fā),設(shè)運動的時間為t秒,當點P第一次回到點A時,點P和直線l同時停止運動.
(1)當t=秒時,△PCE是等腰直角三角形;
(2)當點P在AC邊上運動時,將△PEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn),使得點P的對應(yīng)點P1落在EF上,點F的對應(yīng)點為F1 , 當EF1⊥AB時,求t的值;
(3)作點P關(guān)于直線EF的對稱點Q,在運動過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值;
(4)在整個運動過程中,設(shè)△PEF的面積為S,請直接寫出S的最大值.
【答案】
(1)
(2)
解:如圖1,
由題意,∠PEF=∠P1EF1,
∵EF∥AC,∠C=90°,
∴∠BEF=90°,
∠CPE=∠PEF,
∵EF1⊥AB,
∴∠B=∠P1EF1,
∴∠CPE=∠B,
∴tan∠CPE=tanB= = ,
∵tan∠CPE= ,
∴ = ,
∴CP= CE,
∵AP=3t(0<t<3),CE= t,
∴CP=9﹣3t,
∴9﹣3t= × t,解得t= .
(3)
解:如圖2,連接PQ交EF于點O,
∵P、Q關(guān)于直線EF對稱,
∴EF垂直平分PQ,
若四邊形PEQF為菱形,則OE=OF= EF
①當點P在AC邊上運動時,
易知四邊形POEC為矩形,
∴OE=PC,
∴PC= EF,
∵CE= t,
∴BE=12﹣ t,EF=BEtanB= (12﹣ t)=9﹣t,
∴9﹣3t= (9﹣t),解得t= .
②當點P在CB邊上運動時,P、E、Q三點共線,不存在四邊形PEQF;
③如圖3,當點P在BA邊上運動時,則點P在點B、F之間,
∵BE=12﹣ t,
∴BF= = (12﹣ t)=15﹣ t,
∵BP=5(t﹣6),
∴PF=BF﹣BP=15﹣ t﹣5(t﹣6)=45﹣ t,
∵∠POF=∠BEF=90°,
∴PO∥BE,
∴∠OPF=∠B,
在Rt△POF中,sin∠OPF=sinB,
∴ = ,
∴ ,解得t= .
∴當t= 或t= 時,四邊形PEQF為菱形.
(4)
解:在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得,BC=12,
當點P在邊AC上時,0≤t≤3,
當點P在邊BC上時,
點P和點E重合時,4(t﹣3)= t,
∴t=4.5,
當P剛好到點B時,t=6,
當點P在邊AB上時,且和點F重合時,
∵l∥AC,
∴△BEF∽△BCA,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴t=6.75,
①當0≤t≤6時,如圖4,
由運動知,CE= t,
∴BE=12﹣ t,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BCA,
∴ ,
∴ ,
∴EF=9﹣t,
∴S△PEF= EFCE= (9﹣t)× t=﹣ (t﹣ )2+ ,
此時當t=3時,S△PEF最大=﹣ (3﹣ )2+ =12,
②當3<t<4.5時,如圖5,
由運動知,PE= t﹣4(t﹣3)=﹣ t+12,
∴S△PEF= EFPE= (9﹣t)(﹣ t+12)= t2﹣18t+54,
此時不存在最大值,
③當4.5<t≤6時,如圖6,
同②的方法,得,S△PEF=﹣ t2+18t﹣54=﹣ (t﹣ )2+
此時,當t=6時,S△PEF最大=6,
④當6<t<6.75時,如圖7,
在Rt△ABC中,sin∠B= = = ,
在Rt△BEQ中,sin∠B= = = ,
∴QE= (36﹣4t),在Rt△BEF中,sin∠B= = = ,
∴BF= (9﹣t),
∴PF=BF﹣BP= (9﹣t)﹣5(t﹣6)=45﹣ t
S△PEF= PFQE= t2﹣42t+162,
此時不存在最大值;
⑤當6.75<t<9時,如圖8,
同④的方法,得,S△PEF=﹣ t2+42t﹣162,
由于對稱軸t= >9,
∴此時取不到最大值,
∴在整個運動過程中,S的最大值為12.
【解析】解:(1)由運動知,CE= t,AP=3t,
∵AC=9,
∴PC=9﹣3t,
∵△PCE是等腰直角三角形,
∴PC=EC,
∴9﹣3t= t.
∴t= ,
故答案為: ;
(1)直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程即可;(2)先求出CP= CE,進而得出CP=9﹣3t,最后建立方程求解即可;(3)分三種情況,利用直角三角形中,利用銳角三角函數(shù)建立方程求解即可;(4)分5中情況利用三角形的面積公式求出各段面積與時間的函數(shù)關(guān)系式,最后比較即可得出結(jié)論.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是直線上的一點,是任意一條射線,平分,平分.
(1)圖中的補角為 ;
(2)若,求的度數(shù);
(3)與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3,CB=4,設(shè)P,Q分別為AB邊,CB邊上的動點,它們同時分別從A,C出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點B運動,設(shè)P,Q運動的時間為t秒.
(1)求△CPQ的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(2)t為何值時,△CPQ為直角三角形.
(3)①探索:△CPQ是否可能為正三角形,說明理由.
②P,Q兩點同時出發(fā),若點P的運動速度不變,試改變點Q的運動速度,使△CPQ為正三角形,求出點Q的運動速度和此時的t值.
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【題目】解方程﹣1的步驟如下:
(解析)第一步:﹣1(分數(shù)的基本性質(zhì))
第二步:2x﹣1=3(2x+8)﹣3……(①)
第三步:2x﹣1=6x+24﹣3……(②)
第四步:2x﹣6x=24﹣3+1……(③)
第五步:﹣4x=22(④)
第六步:x=﹣……(⑤)
以上解方程第二步到第六步的計算依據(jù)有:①去括號法則.②等式性質(zhì)一.③等式性質(zhì)二.④合并同類項法則.請選擇排序完全正確的一個選項( 。
A. ②①③④② B. ②①③④③ C. ③①②④③ D. ③①④②③
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【題目】綜合題
(1)【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①,在△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于點D,E為AD上一點,且DE=BD,可知AB=CE.
(2)【類比探究】如圖②,在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,E是OC上任意一點,AG⊥BE于點G,交BD于點F.判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
(3)【推廣應(yīng)用】在圖②中,若AB=4,BF= ,則△AGE的面積為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新學期開學,某體育用品商店開展促銷活動,有兩種優(yōu)惠方案.
方案一:不購買會員卡時,乒乓球享受8.5折優(yōu)惠,乒乓球拍購買5副(含5副)以上才能享受8.5折優(yōu)惠,5副以下必須按標價購買.
方案二:辦理會員卡時,全部商品享受八折優(yōu)惠,小健和小康的談話內(nèi)容如下:
會員卡只限本人使用.
(1)求該商店銷售的乒乓球拍每副的標價.
(2)如果乒乓球每盒10元,小健需購買乒乓球拍6副,乒乓球a盒,請回答下列問題:
①如果方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多,求a的值;
②直接寫出一個恰當?shù)?/span>a值,使方案一比方案二優(yōu)惠;
③直接寫出一個恰當?shù)?/span>a值,使方案二比方案一優(yōu)惠.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某小組同學在一周內(nèi)參加家務(wù)勞動時間與人數(shù)情況如下表所示:
下列關(guān)于“勞動時間”這組數(shù)據(jù)敘述正確的是( )
A. 中位數(shù)是2 B. 眾數(shù)是2 C. 平均數(shù)是3 D. 方差是0
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長均為1.線段AB的兩個端點在小正方形的頂點上。
(1)在圖中畫一個以AB為腰的等腰三角形△ABC,點C在小正方形的頂點上,且tan∠B=3;
(2)在圖中畫一個以AB為底的等腰三角形△ABD,點D在小正方形的項點上,且△ABD是銳角三角形.連接CD,請直接寫出線段CD的長。
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