【題目】類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到,如下是一個案例,請補充完整.

原題:如圖1,在△ABC中,點D,E,Q分別在AB,AC,BC上,且DEBC,AQDE于點P,求證:.

(1)嘗試探究:在圖1中,由DPBQ,得△ADP___ABQ(”),則___,同理可得,從而;

(2)類比延伸:如圖2,在△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上,連接AG,AF分別交DEM,N兩點,若AB=AC=1,則MN的長為_____;

(3)拓展遷移:如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上,連接AG,AF分別交DEM,N兩點,AB<AC,求證:MN2=DM·EN.

【答案】(1);;(2);(3)證明見解析.

【解析】

(1)可證明ADP∽△ABQ,ACQ∽△ADP,從而根據(jù)等比代換,得出

(2)根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高,根據(jù)ADE∽△ABC,求出正方形DEFG的邊長,根據(jù)等于高之比,即可求出MN;

(3)可得出BGD∽△EFC,則DGEF=CFBG;又由DG=GF=EF,得,再根據(jù)(1),從而得出答案.

(1)如圖1,

DPBQ,

∴△ADP∽△ABQ,

同理可得ACQ∽△APE,

故答案為:∽;;

(2)如圖2所示,

AQBC于點Q.

BC邊上的高

ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四個頂點

DE=DG=GF=EF=BG=CF,

DE:BC=1:3,

又∵DEBC,

AD:AB=1:3,

DE邊上的高為,

MN=.

(3)證明:

∵∠B+C=90°,CEF+C=90°,

∴∠B=CEF.

又∵∠BGD=EFC=90°,

∴△BGD∽△EFC.

,DG·EF=CF·BG.

又∵DG=GF=EF,GF2=CF·BG.

(1)易得

GF2=CF·BG,

MN2=DM·EN.

練習(xí)冊系列答案
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思路三 利用科普書上的有關(guān)公式:tanαβ)=

tanαβ)=;…

請解決下列問題(上述思路僅供參考).

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