Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形的邊AB、CD、DA上，AH＝1，聯(lián)結(jié)CF．

（1）當(dāng)DG＝1時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；

（2）設(shè)DG＝x，△FCG的面積為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；

（3）當(dāng)DG＝時(shí)，求∠GHE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（3）60°

【解析】

(1)先求出HG，再判斷出△AHE≌△DGH，得出∠AHE=∠DGH，進(jìn)而判斷出∠GHE=90，即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出∠HEA=∠FGM，進(jìn)而判斷出△AHE≌△MFG.得出FM=HA=1，即可得出結(jié)論；

(3)利用勾股定理依次求出GH= ，AE= ，GE= ，進(jìn)而判斷出GH=HE=GE，即可得出結(jié)論

解：（1）在正方形ABCD中，

∵AH＝1，

∴DH＝2．

又∵DG＝1，

∴HG＝

在△AHE和△DGH中，

∵∠A＝∠D＝90°，AH＝DG＝1，EH＝HG＝，

∴△AHE≌△DGH，

∴∠AHE＝∠DGH．

∵∠DGH+∠DHG＝90°，∠AHE+∠DHG＝90°．

∴∠GHE＝90°

所以菱形EFGH是正方形；

（2）如圖1，過點(diǎn)F作FM⊥DC交DC所在直線于M，聯(lián)結(jié)GE．

∵AB∥CD，

∴∠AEG＝∠MGE．

∵HE∥GF，

∴∠HEG＝∠FGE．

∴∠HEA＝∠FGM，

在△AHE和△MFG中，

∵∠A＝∠M＝90°，EH＝GF．

∴△AHE≌△MFG．

∴FM＝HA＝1．

即無論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值1，

∴y＝ GCFM＝（3﹣x）×1＝﹣x+（0≤x≤）；

（3）如圖2，當(dāng)DG＝時(shí)，

在Rt△HDG中，DH＝2，根據(jù)勾股定理得，GH＝；

∴HE＝GH＝ ，

在Rt△AEH中，根據(jù)勾股定理得，AE＝，

過點(diǎn)G作GN⊥AB于N，

∴EN＝AE﹣DG＝

在Rt△ENG中，根據(jù)勾股定理得，GE＝

∴GH＝HE＝GE，

∴△GHE為等邊三角形．

∴∠GHE＝60°．