Question

【題目】類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整． 原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G．若 =3，求 的值．

（1）嘗試探究 在圖1中，過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是 ， CG和EH的數(shù)量關(guān)系是 ， 的值是 ．
（2）類比延伸 如圖2，在原題的條件下，若 =m（m＞0），求 的值（用含有m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．
（3）拓展遷移 如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC的延長線上的一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F．若 =a， =b，（a＞0，b＞0），則 的值是（用含a、b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）AB=3EH；CG=2EH；
（2）解：如右圖2所示，作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則△EFH∽△AFB．

∴ = =m，

∴AB=mEH．

∵AB=CD，

∴CD=mEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴ =2，

∴CG=2EH．

∴ = =

（3）ab
【解析】解：（1）依題意，過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，如右圖1所示． 則有△ABF∽△EHF，
∴ ，
∴AB=3EH．
∵ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E為BC中點(diǎn)，
∴EH為△BCG的中位線，
∴CG=2EH．
= = = ．
所以答案是：AB=3EH；CG=2EH； ．

3）如右圖3所示，過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長線于點(diǎn)H，則有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴ =b，
∴CD=bEH．
又 =a，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ = = =ab，
所以答案是：ab．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和梯形的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形才能正確解答此題．