【題目】如圖,已知拋物線與軸相交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),為頂點(diǎn).
求直線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo);
已知,點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),作于點(diǎn),當(dāng)最大時(shí),有一條長(zhǎng)為的線段(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))在直線上移動(dòng),首尾順次連接、、、構(gòu)成四邊形,請(qǐng)求出四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
如圖,過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn),連接,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),將沿直線折疊至,是否存在點(diǎn)使得與重疊部分的圖形是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】直線的解析式為,點(diǎn)坐標(biāo). .存在.當(dāng)與重疊部分的圖形是直角三角形時(shí),的長(zhǎng)為或或.
【解析】
(1)分別令x=0和y=0可求解出ABC三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解直線AC的解析式;將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式即可求解D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由于AC長(zhǎng)度固定,故當(dāng)PR最大時(shí),△APC的面積最大,由圖像可知,設(shè)P(m,m2+2m-3),代入其中可求解m從而確定P點(diǎn)坐標(biāo);將點(diǎn)沿方向平移個(gè)單位得到,作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連接交于,此時(shí)四邊形的最長(zhǎng)最小;
(3)分三種情況進(jìn)行討論:當(dāng)時(shí),重疊部分是RT△FKQ;當(dāng)時(shí),重疊部分是RT△FQD;、當(dāng)時(shí),重疊部分是RT△QMF.
對(duì)于拋物線,令,得,解得或,
∴,,
令,得,
∴,
∵拋物線,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為,
設(shè)直線的解析式為,則有,解得,
∴直線的解析式為,點(diǎn)坐標(biāo).
如圖中,設(shè)
由題意,當(dāng)最大時(shí),的面積最大,即四邊形的面積最大,
∵
,
∴當(dāng)時(shí),四邊形的面積最大,即最長(zhǎng),
∴,
將點(diǎn)沿方向平移個(gè)單位得到,作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連接交于,此時(shí)四邊形的最長(zhǎng)最小,
∵直線的解析式為,直線的解析式為,
由解得,
∴,
∵,
∴,
∴直線的解析式為,
由解得,
∴,將點(diǎn)向下平移個(gè)單位,向右平移個(gè)單位得到,
∴.
存在.
①如圖中,當(dāng)時(shí),重疊部分是,作于.
由題意可求得,容易求得,,,,CD=
∵AD2=20=AC2+CD2,
∴∠ACD=90°,
∴,
∴,
∴
∴,,
∴,設(shè),
在中,,
∴,
∴
②如圖中,當(dāng)時(shí),重疊部分是,此時(shí).
③如圖中,當(dāng)時(shí),重疊部分是.
設(shè),在中,,
∴,
∴.
綜上所述,當(dāng)與重疊部分的圖形是直角三角形時(shí),的長(zhǎng)為或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.
(1)以直線BC為軸,把△ABC旋轉(zhuǎn)一周,求所得圓錐的底面圓周長(zhǎng).
(2)以直線AC為軸,把△ABC旋轉(zhuǎn)一周,求所得圓錐的側(cè)面積;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),
(1)求這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式
(2)寫(xiě)出使反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)的取值范圍。
(3)△AOB的面積。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“不闖紅燈,珍惜生命”活動(dòng)中,文明中學(xué)的王欣和李好兩位同學(xué)某天來(lái)到城區(qū)中心的十字路口,觀察、統(tǒng)計(jì)上午7::00中闖紅燈的人次,制作了兩個(gè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖圖和.
圖a提供的五個(gè)數(shù)據(jù)各時(shí)段闖紅燈人次的中位數(shù)是______,平均數(shù)是______;
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求未成年人類(lèi)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù),并估計(jì)一個(gè)月按30天計(jì)算上午7::00在該十字路口闖紅燈的未成年人約有多少人次.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息向交通管理部門(mén)提出一條合理化建議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐四邊形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)
“智慧”數(shù)學(xué)小組在課外數(shù)學(xué)活動(dòng)中研究了一個(gè)問(wèn)題,請(qǐng)幫他們解答.
任務(wù)一:如圖1,在矩形ABCD中,,,E,F分別為AB,AD邊的中點(diǎn),四邊形AEGF為矩形,連接CG.
請(qǐng)直接寫(xiě)出CG的長(zhǎng)是______.
如圖2,當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)G落在邊AB上時(shí),請(qǐng)計(jì)算DF與CG的長(zhǎng),通過(guò)計(jì)算,試猜想DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系.
當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置時(shí),中DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
任務(wù)二:“智慧”數(shù)學(xué)小組對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了拓展研究,如圖4,在ABCD中,,,,E,F分別為AB,AD邊的中點(diǎn),四邊形AEGF為平行四邊形,連接“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著特定的數(shù)量關(guān)系.
如圖5,當(dāng)AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn),其他條件不變時(shí),“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著這一特定的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)你直接寫(xiě)出這個(gè)特定的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,已知的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.
(1)以為頂點(diǎn),畫(huà)一個(gè),使三邊長(zhǎng)分別為2,,;
(2)畫(huà)出,使它與關(guān)于直線對(duì)稱;
(3)寫(xiě)出的面積,即______;
(4)在直線上畫(huà)出點(diǎn),使最小,最小值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,).
(1)_____,點(diǎn)A的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,求四邊形ABMC的面積;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:∠MAN=60°,點(diǎn)B在射線AM上,AB=4(如圖).P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn),以BP為邊作等邊三角形BPQ(點(diǎn)B,P,Q按順時(shí)針排列),O是△BPQ的外心.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:點(diǎn)O在∠MAN的平分線上;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合)時(shí),AO與BP交于點(diǎn)C,設(shè)AP=x,AC﹒AO=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;
(3)若點(diǎn)D在射線AN上,AD=2,圓I為△ABD的內(nèi)切圓.當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,中,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)
如圖①,求證:;
如圖②,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.連接.
①若,求的長(zhǎng);
②若,在圖②的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的大。
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