【題目】已知:∠MAN=60°,點B在射線AM上,AB=4(如圖).P為直線AN上一動點,以BP為邊作等邊三角形BPQ(點B,P,Q按順時針排列),O是△BPQ的外心.
(1)當點P在射線AN上運動時,求證:點O在∠MAN的平分線上;
(2)當點P在射線AN上運動(點P與點A不重合)時,AO與BP交于點C,設(shè)AP=x,AC﹒AO=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)若點D在射線AN上,AD=2,圓I為△ABD的內(nèi)切圓.當△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時,請直接寫出點A與點O的距離.
【答案】 (1)詳見解析;(2)y=4x,其中自變量的取值范圍為x>0;(3))①當BP與圓I相切時,AO= ;②當BP與圓I相切時,AO=;③當BQ與圓I相切時,AO=0.
【解析】
(1)證O在∠MAN的平分線上,可證O到角兩邊的距離相等,分兩種情況:①OB不與AM垂直,過O作OT⊥AN,OH⊥AM,可通過構(gòu)建全等三角形來求解.連接OB,OP,則OB=OP,只需證明△OHB與△OTP全等即可.這兩個三角形中,已知的條件有OB=OP,一組直角.只需再證得一組角對應相等即可,∠HOT和∠BOP都等于120°,因此∠BOH=∠TOP,則兩三角形全等,OT=OH.由此得證;②當OB⊥AM時,由于OB=OP,只需證明OP⊥AN即可.由于∠BOP=120°,而∠ABO=90°,∠MAN=60°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°,即可求得OP⊥AN,由此可得證;
(2)本題要通過相似三角形ACP和ABO來求解.這兩個三角形中,已知了∠BAO=∠CAP(在1題中已經(jīng)證得),只需再找出一組對應角相等即可,在△ACP和△OBC中,∠CAP=∠OBC=30°,∠ACP=∠BCO,因此∠APC=∠AOB,由此證得兩三角形相似,可得出關(guān)于AB,AC,AO,AP的比例關(guān)系式,據(jù)此可求出y,x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)本題分三種情況:
①圓I在△BPQ外,且與BP邊相切,此時D、P重合,AD=AP=2,AB=4,∠MAN=60°,因此△ABP為直角三角形,不難得出△ABO也是直角三角形,因此可得出△ABO≌△APB,AO=BP=2;②圓I在△BPQ內(nèi),與BP,PQ邊相切時,此時P與A重合,可在直角三角形ODA中,根據(jù)AD=2,∠DAO=30°,求得AO=;③圓I在△BPQ內(nèi),與BQ邊相切時,A,O重合,因此AO=0.
(1)證明:如圖1,連接OB,OP.
∵O是等邊三角形BPQ的外心,∴圓心角∠BOP==120°.
當∠MAN=60°,不垂直于AM時,作OT⊥AN,則OB=OP.
由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°,且∠A=60°,∠AHO=∠ATO=90°,
∴∠HOT=120°,
∴∠BOH=∠POT,
∴Rt△BOH≌Rt△POT.
∴OH=OT,
∴點O在∠MAN的平分線上;
(2)如圖2,
∵AO平分∠MAN,且∠MAN=60°,
∴∠BAO=∠PAO=30°,
由(1)知,OB=OP,∠BOP=120°,
∴∠CBO=30°,
∴∠CBO=∠PAC,
∵∠BCO=∠PCA,
∴∠AOB=∠APC,
∴△ABO∽△ACP,
∴,
∴AC﹒AO=AB﹒AP,
∴y=4x,其中自變量的取值范圍為:x>0;
(3)①如圖3,當BP與圓I相切時,AO=;
②如圖4,當BP與圓I相切時,AO=;
③如圖5,
當BQ與圓I相切時,AO=0.
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【題目】如圖,已知拋物線與軸相交于,兩點,與軸交于點,為頂點.
求直線的解析式和頂點的坐標;
已知,點是直線下方的拋物線上一動點,作于點,當最大時,有一條長為的線段(點在點的左側(cè))在直線上移動,首尾順次連接、、、構(gòu)成四邊形,請求出四邊形的周長最小時點的坐標;
如圖,過點作軸交直線于點,連接,點是線段上一動點,將沿直線折疊至,是否存在點使得與重疊部分的圖形是直角三角形?若存在,請求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABE≌△ACD.
(1)如果BE=6,DE=2,求BC的長;
(2)如果∠BAC=75°,∠BAD=30°,求∠DAE的度數(shù).
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標系,一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C,請在網(wǎng)格中進行下列操作:
(1)在圖中確定該圓弧所在圓的圓心D點的位置,并寫出點D點坐標為________.
(2)連接AD、CD,求⊙D的半徑及的長;
(3)有一點E(6,0),判斷點E與⊙D的位置關(guān)系.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊,點C與點O恰好重合,則∠OEC為 度.
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【題目】在△ABC 中,AB=AC,MN垂直平分AB分別交AB、BC于M、M,如果△ACN是等腰三角形,那么∠B的大小是______________________.
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【題目】在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,動點P從點A出發(fā),以1cm/s的速度沿AB向點B運動,動點Q從點B出發(fā),以2cm/s秒的速度沿BC向點C運動.P、Q分別從A、B同時出發(fā),設(shè)運動時間為t秒.(如圖1)
(1)用含t的代數(shù)式表示下列線段長度:
①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm.
(2)當△PBQ的面積等于3時,求t的值.
(3) (如圖2),若E為邊CD中點,連結(jié)EQ、AQ.當以A、B、Q為頂點的三角形與△EQC相似時,直接寫出滿足條件的t的所有值.
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【題目】如圖,矩形ABCD的頂點A,B在x軸上,且關(guān)于y軸對稱,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點C,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象分別與AD,CD交于點E,F(xiàn),若S△BEF=7,k1+3k2=0,則k1等于_____.
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