Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，在AC邊上取點(diǎn)O畫圓，使⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論中：①AO＝BC；②AO＝2CO；③延長(zhǎng)BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)；④以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切.正確的序號(hào)是______.

Answer 1

【答案】.②③④

【解析】

連接OB，可得∠ABO＝30°，則∠OBC＝30°，根據(jù)三角函數(shù)cos∠OBC＝，則BC＝OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OC＝OB＝OA，根據(jù)垂徑定理，得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分，因?yàn)辄c(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，所以點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng).

解：連接OB，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠ABO，

∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝∠A＝30°，

∴∠OBC＝30°，

∵cos∠OBC＝，

∴BC＝OB，

即BC＝OA，

故①錯(cuò)誤，

∵∠OBC＝30°，

∴OC＝OB＝OA，

即OA＝2OC，

故②正確；

延長(zhǎng)BC交⊙O于D，

∵AC⊥BD，

∴AD＝AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∴＝＝，

∴點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分；

故③正確；

∵∠ABO＝∠OBC＝30°，

∴點(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，

∴點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng)，

即以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切.

故④正確.

故答案為：②③④.