Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心，則OB的長為　 　

問題探究

（2）如圖②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，以BC為直徑作半圓O，點(diǎn)P為半圓O上一動點(diǎn)，求E、P之間的最大距離；

問題解決

（3）某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABCD和弦CB與其所對的劣弧場地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口D到上的一點(diǎn)P修建一條筆直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，過弦BC的中點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，又測得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路寬度不計(jì)），不考慮其他因素，請你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多少元？

Answer 1

【答案】（1）；（2）E、P之間的最大距離為7；（3）修建這條小路最多要花費(fèi)元．

【解析】

（1）若AO交BC于K，則AK＝8，在Rt△BOK中，設(shè)OB＝x，可得x2＝62+（8﹣x）2，解方程可得OB的長；

（2）延長EO交半圓于點(diǎn)P，可求出此時(shí)E、P之間的最大距離為OE+OP的長即可；

（3）先求出所在圓的半徑，過點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，連接DO并延長交于點(diǎn)P，則DP為入口D到上一點(diǎn)P的最大距離，求出DP長即可求出修建這條小路花費(fèi)的最多費(fèi)用．

（1）

如圖，若AO交BC于K，

∵點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心，AB＝AC，

∴AK⊥BC，BK＝，

∴AK＝，

在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，設(shè)OB＝x，

∴x2＝62+(8x)2，

解得x＝，

∴OB＝；

故答案為：．

（2）

如圖，連接EO，延長EO交半圓于點(diǎn)P，可求出此時(shí)E、P之間的距離最大，

∵在是任意取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的P′，連接OP′，P′E，

∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，

∵AB＝4，AD＝6，

∴EO＝4，OP＝OC＝，

∴EP＝OE+OP＝7，

∴E、P之間的最大距離為7．

（3）

作射線FE交BD于點(diǎn)M，

∵BE＝C，EF⊥BC，是劣弧，

∴所在圓的圓心在射線FE上，

假設(shè)圓心為O，半徑為r，連接OC，則OC＝r，OE＝r40，BE＝CE＝，

在Rt△OEC中，r2＝802+(r40)2，

解得：r＝100，

∴OE＝OFEF＝60，

過點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，

∵AD∥BC，∠ADB＝45°，

∴∠DBC＝45°，

在Rt△BDG中，DG＝BG＝，

在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，

∴ME＞OE，

∴點(diǎn)O在△BDC內(nèi)部，

∴連接DO并延長交于點(diǎn)P，則DP為入口D到上一點(diǎn)P的最大距離，

∵在上任取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的點(diǎn)P′，連接OP′，P′D，

∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，

過點(diǎn)O作OH⊥DG，垂足為H，則OH＝EG＝40，DH＝DGHG＝DGOE＝60，

∴,

∴DP＝OD+r＝，

∴修建這條小路最多要花費(fèi)40×元．