Question

已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為10，對角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB²=AE•AC，BD=16．
（1）求證：△ABE∽△ACB；
（2）求△ABD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OA、OB，交DB于F；已知AB²=AE•AC，易證得△ABE∽△ACB；
（2）由（1）可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根據(jù)垂徑定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=6，則AF=4，由此可求得△ABD的面積．

解答：（1）證明：如圖，

連接OA、OB，交DB于F；
∵AB²=AE•AC，即

AB

AC

=

AE

AB

；
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；

（2）解：∵△ABE∽△ACB，
∴∠DBA=∠BCA；
而∠BCA=∠BDA，
∴∠DBA=∠BDA；
∴AB=AD，
∴OA⊥BD，且F為BD的中點(diǎn)；
∴BF=8；
在Rt△BOF中，OB²=BF²+OF²，
∴OF=6；
而OA=10，
∴AF=4；
∴S_△ABD=

1

2

BD×AF=16．

點(diǎn)評：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形面積公式等知識，綜合性強(qiáng)．