Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（-1，4），C（m，-2），AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B．
（1）求函數(shù)y₁=ax+b與y₂=

k

x

的解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y₂＞y₁；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求得反比例函數(shù)的解析式，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)是的解析式即可；
（2）根據(jù)求得的點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)結(jié)合函數(shù)的圖象確定自編量的取值范圍即可；
（3）分以O(shè)A為底邊、以O(shè)A為腰且以A為頂點(diǎn)和以O(shè)A為腰且以O(shè)為頂點(diǎn)三種情況確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（-1，4），
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y₂=-

4

x

，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C（m，-2），
∴-2=-

4

m

，
解得：m=2，
∴點(diǎn)C（2，-2），
∵y₁=ax+b經(jīng)過A、C，
∴

-2=2a+b 4=-a+b

，
解得：a=-2，b=2，
∴y₁=-2x+2；

（2）觀察圖象知：x為-1＜x＜0或x＞2時(shí)，y₂＞y₁；

（3）如圖：∵A（-1，4），
∴OA=

12+42

=

5

，
當(dāng)以AO為底邊時(shí)，由△P₁DO∽△ABO，
∴

P1O

AO

=

OD

OB

，
即：

P1O

5

=

5 2

1

，
解得：P₁O=

5

2

，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-

5

2

，0）；
當(dāng)以AO為腰以A為頂點(diǎn)時(shí)，
P₂B=BO=1，
此時(shí)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-2，0）；
當(dāng)以AO為腰以O(shè)為頂點(diǎn)時(shí)，
P₃O=P₄O=OA=

5

，
此時(shí)點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（-

5

，0），點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為（

5

，0）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中涉及到了待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式及分類討論的數(shù)學(xué)思想，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．