【題目】如圖,一元二次方程x2+2x﹣3=0的二根x1,x2(x1<x2)是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo),且此拋物線過點(diǎn)A(3,6).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)寫出不等式ax2+bx+c≥0的解集;
(3)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P,對(duì)稱軸與線段AC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí),求M點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2+x﹣;(2)x≥1,x≤-3;(3)P(﹣1,﹣2),Q(﹣1,2);(4)M(0,0)
【解析】
(1)先求出一元二次方程的兩個(gè)根,即可知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而即可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)可直接得出不等式的解集;
(3)根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸,根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線AC的解析式,然后即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);
(4)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′Q,A′Q與x軸的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn),利用待定系數(shù)法求出直線A′Q的解析式即可確定M點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)解方程x2+2x﹣3=0得:x1=﹣3,x2=1,
∴拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0),C(﹣3,0),
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),
∵拋物線過點(diǎn)A(3,6),
∴6=a(3+3)(3﹣1),
解得:a=,
∴二次函數(shù)的解析式為y=(x+3)(x﹣1)=x2+x﹣;
(2)∵拋物線開口向上,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0),C(﹣3,0),
∴不等式ax2+bx+c≥0的解集為:x≥1或x≤-3;
(3)∵y=x2+x﹣=(x+1)2﹣2,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(﹣1,﹣2),對(duì)稱軸為x=﹣1,
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,
將A(3,6),C(﹣3,0),代入得:,
解得:,
∴直線AC解析式為y=x+3,
將x=﹣1代入,得y=2,
∴Q(﹣1,2);
(4)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(3,﹣6),
連接A′Q,A′Q與x軸的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn),
設(shè)直線A′Q的解析式為y=kx+b,
將A′(3,﹣6),Q(﹣1,2)代入得:,
解得:,
∴直線A′Q的解析式為y=﹣2x,
令x=0,則y=0,
∴M(0,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD與AB交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的切線BP與CD的延長線交于點(diǎn)P,連接OC,CB.
(1)求證:AEEB=CEED;
(2)若⊙O的半徑為3,OE=2BE,=,求線段DE和PE的長.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣2),頂點(diǎn)為P
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,若直線PM與BC交于Q,且sin∠CQP=,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)將拋物線平移至頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),過F(0,)的直線交拋物線于G、H,GO交直線y=﹣于點(diǎn)N,求證:HN∥y軸.
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【題目】動(dòng)手操作:(不要求寫作法和證明,只保留作圖痕跡)
(1)如圖所示,以點(diǎn)為對(duì)稱中心,畫出與成中心對(duì)稱的圖形.
(2)如圖所示,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到了處,試畫出旋轉(zhuǎn)后的.
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【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,△OA1B1是邊長為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱,…,如此作下去,則△B2018A2019B2019的頂點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是_____.
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【題目】綜合與探究
如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、,已知點(diǎn),,且,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)(異于).
(1)求拋物線和直線的表達(dá)式.
(2)若點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn),過點(diǎn)作,與交于點(diǎn),垂足為.當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn),使得由,,,四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) , ,將直線平移與雙曲線在第一象限的圖象交于、兩點(diǎn).
(1)如圖1,將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得與對(duì)應(yīng),與對(duì)應(yīng)),在圖1中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形并直接寫出、坐標(biāo);
(2)若,
①如圖2,當(dāng)時(shí),求的值;
②如圖3,作軸于點(diǎn),軸于點(diǎn),直線與雙曲線有唯一公共點(diǎn)時(shí),的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,-3).
(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.
(2)點(diǎn)(-1,6),(3,2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖像上?
(3)這個(gè)函數(shù)的圖像位于哪些象限?函數(shù)值y隨自變量的增大如何變化?
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【題目】在不透明的箱子中,裝有紅、白、黑各一個(gè)球,它們除了顏色之外,沒有其他區(qū)別。
(1)隨機(jī)地從箱子里取出一個(gè)球,則取出紅球的概率是多少?
(2)隨機(jī)地從箱子里取出1個(gè)球,然后放回,再搖勻取出第二個(gè)球,請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果,并求兩次取出相同顏色球的概率。
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